¿Cuál es la diferencia entre la debilidad de la convergencia y la convergencia en medida? ejemplo supongamos que $\mu_{n}\Rightarrow \mu$ $[0,1]$ (el espacio donde todas las medidas que se definen es $[0,1]$.) ¿Cómo funciona este contraste con la afirmación de que tenemos un espacio muestral $\Omega$ en el que se definen las variables aleatorias $X_{1},\ldots,$ mapa de $\Omega $ $[0,1]$ $X_{n}$converge en la medida para algunos variable aleatoria $X$.
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Evan
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La debilidad de la convergencia es más débil que la convergencia en medida. Una forma muy fácil y ejemplo ilustrativo es de notar que, por la debilidad de la convergencia, el único requisito es que la distribución de la variable aleatoria converge. Así que si tomamos por ejemplo $X$ a ser de Gauss (o algo simétrico), y considerar la secuencia de $X,-X,X,-X,\ldots$ (Ok, en tu caso puede que tenga que escoger un $[0,1]$ valores de r.v. simétrico con respecto al $0.5$ y el uso de $X,1-X,X,1-X,\ldots$). Esta secuencia trivialmente converge débilmente (como las distribuciones en la secuencia son idénticos), pero está claro que esta secuencia no convergen en la medida.
PS si la debilidad de la convergencia es un degenerado de distribución (constante), entonces la convergencia es también en cierta medida, si recuerdo correctamente.
Si yo interpreto sus palabras correctamente, usted está preguntando acerca de la inducida por las medidas en $[0,1]$, lanzando fuera de la muestra original del espacio. Entonces se habla de la misma noción de convergencia, que es el $\mu_n(A) \to \mu(A)$ para los conjuntos de $A$ sin átomos de $\mu$, donde estas son medidas en $[0,1]$. Esta noción se refiere a la débil* la convergencia de las medidas funcionales lineales en el espacio de funciones continuas. Todo esto es en el ámbito de análisis real.
Pero luego de preguntar acerca de un espacio muestral para determinar la probabilidad y el concepto de convergencia en medida (probabilidad). Para estos, el espacio muestral importa mucho! (Como ejemplo se muestra). Incluso hablar de una secuencia de variables aleatorias, genéricamente, usted tiene que utilizar un espacio de muestreo de la forma $\Omega^\mathbb{N}$.
Si nos remontamos a sólo $[0,1]$, entonces, preguntando cómo se relaciona con otros conceptos de convergencia? (ptwise, y en la medida de convergencia sólo tienen sentido para las funciones, decir densidades, pero no para las medidas genéricas).
smiley06
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La debilidad de la convergencia es la convergencia de las medidas dada la débil* topología de $ C([0,1]) $ por Riesz-teorema de Representación, lo que implica $ \mu_n \overset{*}{\rightharpoonup} \mu $ fib para todas las funciones medibles $f$ hemos $$ \int_0^1 fd\mu_n \rightarrow \int_0^1 fd\mu $$ Mientras que la convergencia en medida es la convergencia de funciones medibles, $ f_n \overset{\mu}{\rightarrow} f $ fib como $ n\rightarrow \infty $ hemos $$ \mu(\{x \in [0,1]\ |\ |f_n(x)-f(x)|> \epsilon \}) \rightarrow 0 $$ Por lo tanto $ X_n \overset{\mu}{\rightarrow} X $ fib $ \mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon) \rightarrow 0 $ $ n \rightarrow \infty $
