Global secciones de Serre de la torsión gavilla

Question

Deje $I_1$ $I_2$ ser homogéneos ideales en $A:=\mathbb{C}[X_0,\ldots,X_n]$. Suponga que $I_1 \subset I_2$. Deje $X=\mathrm{Proj} (A/I_1)$$Y=\mathrm{Proj}(A/I_2)$. A continuación,

1) Es cierto que el natural de morfismos $\Gamma(X,\mathcal{O}_X(n)) \to \Gamma(Y,\mathcal{O}_Y(n))$ es surjective?

2) Es cierto que $\Gamma(X,\mathcal{O}_X(n))$ es isomorfo al grado $n$ pieza clasificada en $A/I_1$?

Answer 1

Creo que cuando ambos $I_1$ $I_2$ son saturadas, la respuesta a la primera pregunta siempre es la derecha.
En el caso general, si consideramos a $C[x_1,x_2,\ldots,x_n]/I_i ,i=1,2$ como graduado módulo sobre sí mismo, entonces, de acuerdo a un ejercicio de GTM 52 Capítulo 2 section5, uno puede encontrar que $C[x_1,x_2,\ldots,x_n]/I_i$ y gradual del módulo de $M$, que es la suma directa de los módulos de la forma como $\Gamma(X,\mathcal{O}_X(n)),n>0$, tienen el mismo grado de partes cuando el grado $n$ es lo suficientemente grande. Así que cuando $n$ es lo suficientemente grande, tu pregunta es correcta.
Espero que este puede brindar alguna ayuda.