Encontrar una constante $B > 0 $ para que $\left\lVert x \right\rVert$ $\leq$ $ B* \left\lVert x \right\rVert_\infty$

Question

¿Cómo puedo encontrar una constante $B > 0 $ para que $\left\lVert x \right\rVert$ $\leq$ $ B* \left\lVert x \right\rVert_\infty$ funciona para todos $x \in \mathbb{R}^n$ ?

No estoy seguro pero creo que tengo que mirar $x$ = $\sum_{i=1}^{n} x_ie_i$ con el desarrollo de la x a los vectores unitarios canónicos $e_i$ . ¿Pero cómo lo hago formalmente?

Answer 1

Escriba $x = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n$ . Si $\|\cdot\|$ es una norma arbitraria sobre $\mathbb R^n$ tienes $$\|x\| = \|x_1e_1 + \ldots x_n e_n\| \le \sum_{i=1}^n \|x_i e_i\| = \sum_{i=1}^n |x_i| \|e_i\|.$$ Cada $x_i$ satisface $|x_i| \le \|x\|_\infty$ para que $$\|x\| = \|x_1e_1 + \ldots x_n e_n\| \le \sum_{i=1}^n \|x\|_\infty \|e_i\| = \left(\sum_{i=1}^n \|e_i\| \right) \|x\|_\infty. $$ Toma $$B = \sum_{i=1}^n \|e_i\|.$$