El corrimiento Al rojo gravitacional alrededor de un Agujero Negro de Schwarzschild

Question

Digamos que estoy flotando en un cohete constante de las coordenadas espaciales en el exterior de un agujero negro de Schwarzschild.

Puedo colocar una bombilla en el agujero negro, y que emite un poco de luz a una distancia de $r_e$ desde el centro, con una longitud de onda de $\lambda_{e}$ en el marco del resto de la bombilla.

¿Cuál sería la longitud de onda de la luz cuando llega a mí, en $r_{obs}$ en términos de la radio en la que se emite, $r_e$?

Este es un subquestion de Sean Carroll, del espacio-Tiempo y Geomtery. Anteriormente en el capítulo, Carroll afirma que cualquier observador estacionario $(U^i= 0)$ medidas de la frecuencia de un fotón después de un null geodésica $x^{\mu}(\lambda)$

$$\omega= -g_{\mu\nu}U^\mu\frac{dx^\nu}{d\lambda}$$

No entiendo donde esta expresión viene de. ¿Cómo se hace incluso conceptualizar las cosas como la longitud de onda y la frecuencia de la luz en términos generales relativista cantidades como $U, g_{\mu\nu}, ds^2$, etc?

Answer 1

Aquí están algunas ideas para volver a su pregunta:

Veamos el recorrido de la antorcha en la presencia de un agujero negro, y supongamos que el observador está fuera del horizonte. Por el bien de la simplicidad, supongamos que la fuente de luz (la antorcha) se está cayendo de manera rectilínea.

Algunos de álgebra y un poco de física, combinando el principio de equivalencia y de algunos aspectos de la teoría especial de la relatividad, puede mostrar que la geometría de la ruta de la antorcha está dada por la ecuación (tomando sólo en cuenta el movimiento rectilíneo):

$ds^2=\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right) c^2dt^2-\frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right)}$.

Donde r es la distancia de la antorcha desde el centro de la BH y M es la masa de la BH. Los coeficientes de $dt^2$ $dr^2$ son la métrica "tensor de componentes" de la geometría espacio-tiempo para esta pregunta en particular. A la luz de la antorcha, sin embargo, el camino es una geodésica de la curva de la línea de más corto camino recorrido por la luz en una gran curva el espacio-tiempo, y la ecuación anterior se convierte en $ds^2=0$ por lo tanto:

$\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right) c^2dt^2-\frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right)}=0$.

La última ecuación nos da la velocidad de la fuente de luz, la antorcha, a medida que cae hacia la BH desde fuera del horizonte, y observado por el observador en algunos de gran distancia de la BH

$v(r)=c(1-2GM/c^2r)$.

El desplazamiento de frecuencia $z=\frac{f-f_0}{f_0}$ se refiere a la velocidad de la fuente de luz a través de la ecuación

$v(r)=c\frac{z^2+2z}{z^2+2z+2}.$

La última ecuación nos da la manera en que el cambio de frecuencia varía como una función de la $r$, y cómo se ve afectado por la masa, M, de la BH. Aquí, $f$ es la frecuencia recibida por el observador, mientras que $f_0$ es la frecuencia emitida por la fuente de luz (la antorcha.)