Supongamos que tengo $A=A_nA_{n-1} \cdots A_2A_1$
¿Cómo puedo calcular la $QR$ factorización de $A$ sin multiplicar explícitamente $A_1, A_2, \ldots , A_n$ juntos?
La sugerencia que tengo es que, supongamos $n=3$ y $Q_3^T A =R$
La escritura $$Q_3^T A =Q_3^T A_3Q_2Q_2^T A_2Q_1Q_1^T A_1Q_0, Q_0=I$$
Entonces encuentra la ortogonalidad $Q_i$ de tal manera que $Q_i^T A_iQ_{i-1}$ es el triángulo superior.
La razón principal para calcular la factorización QR del producto en lugar de multiplicarlos todos juntos es mantener los números de condición bajo control. No es más eficiente (ni es sustancialmente menos eficiente computacionalmente debido a la buena utilización de la caché en las implementaciones modernas de QR).
Usted calcula $A_1 = QR$ y luego aplicar $Q^T$ de la derecha a $A_2$ y luego repítelo hasta que llegues a $A_n$ . En resumen:
tmp = A_1
for i = 1 to n
[Q,R_i] = qr(tmp);
tmp = A_{i+1} * Q^T
end
R = R_n * R_{n-1} * ... * R_1El último $Q$ computarizada es la $Q$ del producto, y el producto de todos los intermediarios $R$ matrices es la $R$ del producto.
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