$C^\infty$ versión de Urysohn Lema en $\Bbb R^n$

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio que su conclusión parece ser el título de este post. El ejercicio es:

1. Demostrar que la función de $h:\Bbb R\to [0,1[$ dada por $$h(t)=\begin{cases} e^{-1/t^2} &\text{if } t\neq 0\\ 0 &\text{otherwise} \end{casos}$$ es $C^\infty$.
2. Mostrar que las funciones $$h_+(t)=\begin{cases} e^{-1/t^2} &\text{if } t\gt 0\\ 0 &\text{otherwise} \end{casos}\quad\text{y}\quad h_{-}(t)=\begin{cases} e^{-1/t^2} &\text{if } t\lt 0\\ 0 &\text{otherwise} \end{casos}$$ se $C^\infty$.
3. Demostrar que la función de $k:\Bbb R\to [0,1[$ $k(t)=h_-(t-b)h_+(t-a)$ $C^\infty$ y positivo para $t\in ]a,b[$.
4. Deje $R$ el rentangle $]a_1,b_1[\times\cdots\times]a_n,b_n[$. Mostrar que hay un $C^\infty$ función de $g:\Bbb R^n\to [0,1[$ estrictamente positivo en $R$.
5. A la conclusión de que si $K$ es un subconjunto compacto de $\Bbb R^n$ $U$ es una vecindad de a $K$, hay un $C^\infty$ función de $f:\Bbb R^n\to [0,1]$ tal que $f_{|K}\equiv 1$, y su apoyo a está contenido en $U$.

A partir del 1 de.-4. Puedo demostrar que para cualquier abierto y acotado conjunto $O\subset \Bbb R^n$, hay un $C^\infty$ función con su apoyo contenida en $O$. Así que mi primer intento fue el de aplicar este al abrir $U\setminus K$. Tengo un $C^\infty$ función de $f$ $0$ (en particular)$K$. Si sólo considerar el $\chi_K+f$ que la función puede no ser $C^\infty$.

En un debate en el chat, robjohn sugieren esto. Funciona bien, pero entonces mi pregunta es:

Puede 5. ser demostrado mediante el uso de 1.-4.? Si sí, ¿cómo?

Answer 1

Desde $K$ es compacto y $U^C$ está cerrado, no es un resultado positivo a distancia, $\Delta$,$K$$U^C$.

Podemos cubrir cada punto de $k\in K$ con un cubo de $Q_k(\Delta/\sqrt{n})$ centrada en $k$ y el lado de la $\Delta/\sqrt{n}$. Tenga en cuenta que el cubo entero está dentro de$\frac\Delta2$$k$. Desde $K$ es compacto, elija un número finito de subcover de estos cubos $\{Q_{k_j}(\Delta/\sqrt{n}):1\le j\le N\}$. Para cada cubo en este subcover, definir la función de $f_j$ mencionado en el paso 4 anterior en $Q_{k_j}(2\Delta/\sqrt{n})$ pero lo dividimos por su mínimo en $\overline{Q}_{k_j}(\Delta/\sqrt{n})$. Por lo tanto, $f_j$ es compatible en $Q_{k_j}(2\Delta/\sqrt{n})$$\ge1$$Q_{k_j}(\Delta/\sqrt{n})$.

$\sum\limits_{j=1}^Nf_j$ es compatible en $U$$\ge1$$K$. A continuación, $\phi\circ\sum\limits_{j=1}^Nf_j$ es compatible en $U$$1$$K$, donde

$$\phi(x)=\frac{h_+(x)}{h_+(x)+h_+(1-x)}$$

Tenga en cuenta que $\phi\in C^\infty$, e $\phi(x)=0$$x\le0$$\phi(x)=1$$x\ge1$.

Answer 2

$\newcommand{\d}{\mathrm d}\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}$ Esto es sólo el final de la Sección 2.6: Construcciones de las Funciones Lisas, en Diferenciables Colectores por Lawrence Conlon.

Deje $a\lt b$, y considere la función $k:\Bbb R\to [0,1[$ como en el 3. Ahora, vamos a $l:\Bbb R\to[0,1[$ definido por $$l(x)=\frac{\int_a^x k(t)\d t}{\int_a^b k(t)\d t}.$$ Observe que $l$ es no decreciente, $l\equiv 0$ en $]-\infty,a]$, $l\equiv 1$ en $[b,\infty[$, e $0\lt l(x)\lt 1$$x\in ]a,b[$.

Ahora, como en @robjohn la respuesta, es posible que se cubran $K$ por un número finito de intervalos abiertos, decir $\{I_j\}_1^N$, por lo que el $\bar{I_j}\subset U$ por cada $j\in\{1,\ldots,N\}$.

Para cada una de las $j\in\{1,\ldots,N\}$, elija una función de soft $g_j:\Bbb R^n\to [0,1[$ como en el 4. A continuación, la función de $g:\Bbb R^n\to [0,1[$ dada por $$g=g_1+\cdots+g_N$$ es $C^\infty$, positivos, $K$ y con $$\supp(g)\subseteq U.$$ Ahora, $g$ alcanza su mínimo $K$, dicen en $x_\ast\in K$, lo $g(x_\ast)\gt 0$. Deje $\delta=g(x_\ast)$.

Tomar una $l$ como la que se comenta al principio con $a=0$$b=\delta$. La función de $f=l\circ g$ tienen las propiedades deseadas.