Cómo calcular $\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^\pi \frac{\sin x}{1+3\cos^2(nx)}\text dx$

Question

En una de nuestras clases de examen nos dieron el siguiente límite para calcular $$ \lim_{n \to \infty}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left(x\right)}{1 + 3\cos^{2}\left(nx\right)}\,\mathrm{d}x $$

evidentemente no es aconsejable utilizar la dominante convergente que failles aplicar aquí ya que el integrando ni siquiera converge.

El maravilloso pensamiento con es que $\lim\limits_{n \to \infty}\cos^{2}\left(nx\right)$ no lo hace y este problema me quitó el sueño durante un tiempo.

¿Alguien tiene algún consejo sobre cómo atacar este problema?

Answer 1

Tenemos el siguiente teorema:

Supongamos que $f,g$ son continuos sobre $[a,b]$ , $g$ periódico con período $T$ en $\mathbb{R}$ . Entonces $$\tag{1}\lim_{n\to \infty} \int_a^b f(x)g(nx) dx = \frac{1}{T}\left(\int_a^b f(x)dx) \right)\left(\int_0^T g(x) dx \right)$$

Así que nuestro límite original es igual: $$\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+3\cos^2(nx)}dx = \frac{1}{\pi }\left( {\int_0^\pi {\sin xdx} } \right)\left( {\int_0^\pi {\frac{1}{{1 + 3{{\cos }^2}x}}dx} } \right) = 1$$

La integral se calcula como: $$\begin{aligned} \int_0^\pi {\frac{1}{{1 + 3{{\cos }^2}x}}dx} &= 2\int_0^{\pi /2} {\frac{1}{{1 + 3{{\cos }^2}x}}dx} \\ &= 2\int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\sec }^2}x}}{{{{\sec }^2}x + 3}}dx} \\ &= 2\int_0^{\pi /2} {\frac{{d(\tan x)}}{{4 + {{\tan }^2}x}}dx} \\ &= \left. {\arctan \left( {\frac{{\tan x}}{2}} \right)} \right|_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

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Un breve esbozo de la prueba de $(1)$ :

Si $g(x)$ es un polinomio trigonométrico de período adecuado, entonces el límite se cumple por el lema de Riemann-Lebesgue (ambos lados son $0$ ). Si $g$ es continua, entonces se puede aproximar uniformemente mediante un polinomio trigonométrico (un resultado clásico del análisis de Fourier). Ahora concluye la prueba.

De hecho $(1)$ se mantiene incluso cuando $f,g$ es meramente Riemann-integrable, observando el siguiente hecho: si $h(x)$ es integrable sobre $[a,b]$ entonces existe una función continua $p(x)$ tal que $$\int_a^b |h(x)-p(x)| dx < \varepsilon$$

Answer 2

Yo habría sugerido algo como $$\int_0^\pi \frac{\sin x}{1+3\cos^2(nx)}\,dx=\frac1n\int_0^{n\pi} \frac{\sin(x/n)}{1+3\cos^2x}\,dx\\=\int_0^{\pi} \frac{\frac1n\sum^{n-1}_{k=0}\sin((x+k\pi)/n)}{1+3\cos^2x}\,dx\to \int^1_0\sin\pi t\,dt\cdot\int_0^{\pi} \frac{dx}{1+3\cos^2x} =1$$ desde $$\frac1n\sum^{n-1}_{k=0}\sin((x+k\pi)/n)=\sin(x/n)\cdot\frac1n\sum^{n-1}_{k=0}\cos(k\pi/n)+\cos(x/n)\cdot\frac1n\sum^{n-1}_{k=0}\sin(k\pi/n),$$ y la RHS converge a $\int^1_0\sin\pi t\,dt$ obviamente (sumas de Riemann). Ahora sí podemos aplicar el teorema de convergencia dominada.

pero un teorema general como el de la respuesta de @pisco125 también está bien.

Answer 3

Dejemos que $$\alpha=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{dx}{1+3\cos^2(x)}.$$ No tengo ni idea de cómo encontrar $\alpha$ ; encontrar un estudiante de cálculo realmente bueno.

Entonces, si $f\in C[a,b]$ se deduce que $$\lim_{n\to\infty}\int_a^b\frac{f(x)\,dx}{1+3\cos^2(nx)}=\alpha\int_a^bf(x)\,dx.$$

Sugerencia: Como $f$ es uniformemente continua, si $n$ es lo suficientemente grande, entonces $f$ está dentro de $\epsilon$ de ser constante en cada periodo de $\cos(nx)$ . Se deduce que la diferencia de las dos integrales anteriores es menor que $\epsilon(b-a)$ o $2\epsilon(b-a)$ o algo así...

(Esto es más o menos lo mismo que la respuesta de pisco125. La prueba que él dio es más hábil; lo de arriba funciona si $f$ es simplemente integrable de Riemann).