Compacto $n$ -tiene la misma cohomología integral que $S^n$ ?

Question

Sea $M$ sea una zona compacta y conexa $n$ -sin límites, donde $n \ge 2$ . Supongamos que $M$ es homotópicamente equivalente a $\Sigma Y$ para algún espacio conexo de base $Y$ . ¿Tiene $M$ tienen la misma homología integral que $S^n$ ?

Answer 1

Sí. En primer lugar, recordemos que una suspensión no tiene productos de copa no triviales. Por dualidad de Poincaré, se deduce que la cohomología integral de $M$ es la torsión en grados $1$ a través de $n-1$ y que lo mismo ocurre con la homología integral. De los coeficientes universales sabemos que $H_{n-1}$ es libre de torsión, lo que aquí implica que es trivial. Por dualidad de Poincaré de nuevo, $H^1$ es trivial, así que por coeficientes universales de nuevo, $H_1$ es trivial, y por dualidad de Poincaré de nuevo, $H^{n-1}$ es trivial. Ahora podemos repetir el ciclo: coeficientes universales implica ahora que $H_{n-2}$ es trivial, etc.