¿Puede la desigualdad del triángulo estricto mantenerse en un espacio de longitud?

Question

Deje $(M, d)$ ser un espacio métrico donde

• (0) relevancia: set $M$ contiene al menos tres elementos distintos y

función de distancia $d : M \times M \to \mathbb R$ explícitamente satisface

• (1) no negatividad: $d[ \, x, y \, ] \ge 0$ (donde $x, y \in M$ no son necesariamente distintos),

• (2) la identidad de los indiscernibles: $d[ \, x, y \, ] = 0 \, \iff \, x \equiv y$,

• (3) simetría: $d[ \, y, x \, ] = d[ \, x, y \, ]$, y

• (4) el triángulo de la desigualdad (una.k.una. inclusive subadditivity): $d[ \, x, z \, ] \le d[ \, x, y \, ] + d[ \, y, z \, ]$ para cualquiera de las tres (no necesariamente distintos) $x, y, z \in M$.

Ahora considere los siguientes dos condiciones adicionales:

• (a) la estricta desigualdad de triángulo (un.k.una. exclusivo subadditivity): $d[ \, x, z \, ] \lt d[ \, x, y \, ] + [ \, y, z \, ] \iff (y \not\equiv x \hbox{ and } y \not\equiv z)$,
  que incluye el caso de que $x, y, z$ son todos pares distintos;

• (b) espacio métrico $(M, d)$ es una longitud de espacio;
  la cual deberá ser definida de manera explícita y adecuadamente generalmente de la siguiente manera:
  $ \, $
  $\forall \, x, z \in M \, | \, x \not\equiv z : (\exists \, y \in M \, | \, d[ \, x, y \, ] \lt d[ \, x, z \, ] \hbox{ and } d[ \, y, z \, ] \lt d[ \, x, z \, ]) \implies $
  $ \, $
  $d[ \, x, z \, ] = \text{inf}_{\{\forall \, C \subset M | \, \exists \, q \, \in \, C \, : \, q \not\equiv x \text{ and } q \not\equiv z\}}{\Large[} \, \text{sup}_{\{ n \in \mathbb N \}}{\large[} \, $
  ${\left\{ \text{inf}_{ \{ \forall \text{ permutations } p \, : n \rightarrow C \} } \!\! \left[ \sum_{k = 1}^n d[ \, p_{(k - 1)}, p_{(k)} \, ] \right] | {x \equiv p_{(0)} \hbox{ and } z \equiv p_{(n)} \hbox{ and } (\forall \, k \le n : p_{(k)} \in C)} \right\}} $
  $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\large]} \, {\Large]},$
  donde la expresión del parte
  $ \text{sup}_{\{ n \in \mathbb N \}} \left[ \, {\left\{ \text{inf}_{ \{ \forall \text{ permutations } p \, : n \rightarrow C \} } \!\! \left[ \sum_{k = 1}^n d[ \, p_{(k - 1)}, p_{(k)} \, ] \right] | {x \equiv p_{(0)} \hbox{ and } z \equiv p_{(n)} \hbox{ and } (\forall \, k \le n : p_{(k)} \in C)} \right\}} \right] $
  es considerado como (general, posiblemente poligonal) de la longitud de la cadena de $C$ $x$ $z$.

Seguramente estas dos condiciones (a) como (b) por separado en consonancia con las condiciones de (0) a (4) se indicó anteriormente, describiendo una correspondiente espacio métrico.

Mi pregunta:
Son estas condiciones (a) y (b) compatibles el uno con el otro?
O en otras palabras: ¿Puede el estricto triángulo de la desigualdad en la longitud del espacio?

Answer 1

En particular, un espacio que no contiene no constante minimizar geodesics. Ejemplos de completar métrica espacios sin ningún no constante minimizar geodesics se construyen en este mathoverflow respuesta. Usted debe revisar estos ejemplos para ver si cumplen su condición (puede que tenga que modificar la construcción, aunque).

Edit. Aquí es una construcción de lo que usted está pidiendo. Voy a dejar de relleno en los detalles.

Definición. Un punto de $m$ en un espacio métrico $(X,d)$ es $\epsilon$-punto medio entre los distintos puntos de $x, y\in M$ si $$ \frac{1}{2} d(x,y)< \min(d(m,x), d(m,y))\le \max( d(m,x), d(m,y) ) < \frac{1}{2} d(x,y) + \epsilon. $$

Definición. Un espacio métrico $(X,d)$ es estricta si cualquier triple de puntos distintos en $X$ satisface estricto triángulo de las desigualdades.

Lema. Dada una contables estrictas espacio métrico $(X,d)$, $\epsilon>0$ y dos distintos puntos de $x,y\in M$, existe una estricta métrica $d'$ $X':= X \sqcup \{m\}$ ampliación de la métrica $d$$X$, de tal manera que $m$ $\epsilon$- punto medio entre el $x, y$.

Ahora, aquí es una construcción de un (contables) estricto de la longitud de espacio métrico $(X,d)$.

Empezar con un 2-punto de ajuste $X_1=\{x,y\}$, $d_1(x,y)=1$. Entonces, usando el Lema, inductivamente construir finito estricto métrica espacios de $(X_n,d_n)$ mediante la adición de $\epsilon$-puntos medios (donde cada una de las $\epsilon$ es de la forma $\frac{1}{i}$ algunos $i\in {\mathbb N}$), de tal manera que para cada una de las $n$ y cada par de puntos $x,y\in X_n$ y cada una de las $i\in {\mathbb N}$ existe $k=k(n,x,y,m)$ de manera tal que en el $k$-ésima etapa de la construcción, añadimos a $X_{k}$ $\frac{1}{i}$- punto medio entre el$x$$y$. (Esto requiere una cierta enumeración de ${\mathbb N}^3$ donde las dos primeras coordenadas en ${\mathbb N}^3$ representan puntos en nuestro finito métrica de los espacios y la última coordenada corresponde al índice de $i$ anterior). Por último, tomar $$ X:= \bigcup_{n} X_n $$ donde la métrica $d$ $X$ se define como la directa límite de las métricas $d_n$, es decir, que se restringe a la métrica de $d_n$ $X_n$ por cada $n$. A continuación, $(X,d)$ es un estricto longitud de espacio métrico.

Tenga en cuenta que $(X,d)$ será incompleta y no será un camino de espacio métrico.