Probando$\ln \cosh x\leq \frac{x^2}{2}$ para$x\in\mathbb{R}$

Question

Me parece que$\ln \cosh x\leq \frac{x^2}{2}$ para$x\in\mathbb{R}$, como se sugiere al representar gráficamente la diferencia entre ambas funciones, así como el hecho de que la expansión de la serie de Taylor de$\ln\cosh x$ en$x=0$ produce$\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+\mathcal{O}(x^6)$. Sin embargo, ¿cómo puedo probar el límite formalmente? Usar el Teorema de Taylor con el resto parece algo difícil de manejar ... ¿Alguna pista?

Answer 1

Dado que ambos lados de la desigualdad son funciones pares, solo debemos considerar$x\geqslant 0$. Entonces usando

PS

solo hay que ver que$$\ln \cosh x = \int_0^x \tanh t\,dt$ para$\tanh t \leqslant t$. Como esta desigualdad es estricta para$t \geqslant 0$, la desigualdad original es estricta para$t > 0$.

Answer 2

Una forma de hacerlo sería comparar las expansiones de la serie Maclaurin de$\cosh x$ y$e^{\frac{x^2}{2}}$:

$\displaystyle\;\;\;\cosh x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\le\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^n n!}=e^{\frac{x^2}{2}}$$\;\;$ desde$(2n)!\ge2^n n!$ para todos n.