¿Es$\mathbb{A}_Q/\mathbb{Z}$ compacto y conectado?

Question

Deje $\mathbb{A}_\mathbb{Q}$a ser el adéles de $\mathbb{Q}$ vistos como un grupo y considerar la posibilidad de $\mathbb{Z}$ como un subgrupo de una forma natural.

Es $\mathbb{A}_\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ compacto y conectado?

No estoy seguro de que esto es cierto, es un ejercicio en Neukirch, pero tal vez hay un error de imprenta? Es fácil ver que $\mathbb{A}_\mathbb{Q} / \mathbb{Q}$ es compacto por la debilidad de la aproximación, pero no creo que el mismo (?) debe ser cierto con $\mathbb{Z}$ lugar. Creo que me puede venir para arriba con contraejemplos, por ejemplo, los elementos de $(1/2^i,1,1,\ldots,) \in \mathbb{Q}_2 \times \Pi_{p \text{ primes } \neq 2} \mathbb{Z}_p \times \mathbb{R} \subset \mathbb{A}_\mathbb{Q}$ $i>0$ no debería aproximar arbitrariamente bien por algunos entero $\mathbb{Z}!.$ Probablemente Neukirch la intención de usar $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{R},$ ya que en ese caso, el cociente por $\mathbb{Z}$ es compacto y conectado.

Por lo tanto, mi pregunta es, si alguien pudiera confirmar mis sospechas de que esta es, de hecho, falsa. Si es cierto, agradecería una prueba de que así.

Answer 1

Tienes razón en que este es un error tipográfico. Debería ser $\mathbb A/\mathbb Q$. Tu (contra) ejemplo ciertamente tiene éxito.

Otra forma de ver la compacidad es darse cuenta de que el "solenoide"$\mathbb A/\mathbb Q$ es el límite proyectivo de los círculos$\mathbb R/n\mathbb Z$ donde$n$ corre a través de números enteros ordenados por divisibilidad. Dado que el límite proyectivo es un subconjunto cerrado del producto correspondiente, por Tychonoff el límite proyectivo es compacto.

En una vena similar,$(\mathbb R\times \mathbb Q_p)/\mathbb Z[{1\over p}]$ es compacto.