La fuerza de Coulomb en unidades del SI se lee $\displaystyle F = \frac{1}{4\pi\varepsilon }\frac{Q_1\times Q_2}{R^{2}} $.
Por otro lado, en el sistema CGS esto se lee $\displaystyle F = \frac{Q_1\times Q_2}{R^{2}} $.
¿Por qué es esto? Quiero decir, ¿no hace alguna diferencia en la dimensión? Especialmente considerando que $ \varepsilon $ tiene su propia dimensión. Una pregunta idéntica se aplica a la fuerza magnética.
Respuesta corta
Te has topado con la peculiaridad de que los sistemas SI y CGS no solo miden la carga eléctrica con diferentes unidades, sino que también les asignan una dimensionalidad diferente.
En el SI, el Amperio es una unidad base. Los Amperios no están hechos de nada más, son primitivos, como los metros, los kilogramos y los segundos. Un Amperio es un Culombio por segundo, por lo que la unidad de carga eléctrica, el Culombio, es igual a un Amperio-segundo.
Cuando hay una ecuación que tiene Amperios o Culombios en un lado y algo sin esas unidades (como la fuerza) en el otro lado, la ecuación siempre tendrá una constante que tenga las unidades correctas para equilibrar las cosas. Esa labor la realizan $\mu_0$ y $\epsilon_0$.
En el CGS, la carga se mide en esu, pero esta es una unidad derivada. Se considera que la carga está compuesta por longitud, masa y tiempo de la forma en que, por ejemplo, lo está el momento angular. La carga tiene dimensiones
$$[M]^{1/2}[L]^{3/2}[S]^{-1}$$
y un esu es igual a la raíz cuadrada de un $\text{dyne-cm}^2$.
Respuesta larga
En el SI, comenzamos con metros, kilogramos y segundos. Luego definimos $\mu_0$ como $4\pi\times 10^{-7}\textrm{ohm-sec/m}$. Ahora tomamos dos cables mucho más largos que la distancia entre ellos, y hacemos pasar el mismo corriente por ellos. Hacemos que la distancia entre ellos sea $d$. Una sección de longitud $l$ de los cables sentirá una fuerza de atracción $F$, que depende del cuadrado de la corriente. El Amperio se define de tal manera que cuando la corriente se mide en Amperios, encontramos que
$$F = \frac{\mu_0 I^2 l}{2\pi d}$$
cuando $F$ se mide en Newtons, $d$ y $l$ en metros.
Esta definición requiere que puedas crear la misma corriente en cada cable, que puedas medir con precisión la fuerza por unidad de longitud y que la fuerza sea perfectamente proporcional al cuadrado de la corriente. En realidad no lo será porque los cables no son infinitamente largos y perfectamente rectos y paralelos, pero alguna definición operativa equivalente podría ser utilizada en la práctica. (El hecho de que la definición sea posible es una prueba de la hipótesis física de la proporcionalidad.) El punto importante es que el Amperio se convierte en una nueva unidad básica. (Técnicamente, lo dicho hasta ahora no definiría Amperios, sino que nos daría una relación entre Amperios y Ohmios. Podríamos resolver eso observando las unidades de $V=IR$, por ejemplo).
El Culombio utilizado en la ley de Coulomb se define entonces como un segundo de Amperio. Esto parecería permitirnos medir experimentalmente $\epsilon_0$ porque ahora es la única incógnita en la ley de Coulomb. Originalmente, eso era correcto, pero ahora hemos definido la velocidad de la luz como $c = 2.99792458 \times 10^8$ metros/segundo, por lo que estamos limitados por $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$. Esto fuerza a $\epsilon_0$ a ser
$$\epsilon_0 = \frac{1}{4\pi\times 8.9875517853681764 \times 10^9}\frac{\textrm{seg}}{\textrm{ohm-m}}$$,
lo que significa que también podríamos definir directamente el Culombio a partir de la ley de Coulomb: toma dos cuerpos cargados, mide la fuerza entre ellos y define el Culombio como la unidad de carga tal que
$$F = \frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2}$$
con $R$ en metros y $F$ en Newtons. La observación experimental de que estas dos definiciones del Culombio (una como el segundo de Amperio y otra directamente de la ley de Coulomb) coinciden se convierte entonces en una prueba de la teoría física del electromagnetismo.
En unidades CGS, la carga se mide en esu, una unidad derivada definida por la ley de Coulomb tal como la has escrito. Un esu es la carga tal que dos cuerpos cargados sienten la fuerza de Coulomb
$$F = \frac{Q_1Q_2}{R^2}$$
con $F$ en dinas y $R$ en centímetros. Si ambas cargas son un esu, esto da
$$1\text{ }\textrm{dina} = \frac{1\text{ }\textrm{esu}^2}{1\text{ }\textrm{cm}^2}$$
o
$$1\text{ }\textrm{esu} = 1\text{ }\textrm{cm}\sqrt{\textrm{dina}}$$
finalmente, dado que el dina es una unidad derivada, esto podría escribirse en términos de unidades básicas como
$$1\text{ }\textrm{esu} = \sqrt{\frac{\textrm{g-cm}^3}{\textrm{s}^2}}$$
Como consecuencia, hay una unidad base menos involucrada en las fórmulas electromagnéticas al usar CGS. Además, no hay necesidad de la constante $\epsilon_0$ utilizada en SI. Tampoco hay necesidad de $\mu_0$. En su lugar, cosas como las ecuaciones de Maxwell incluyen explícitamente la velocidad de la luz $c$. Puedes ver una comparación lado a lado de las ecuaciones básicas del electromagnetismo en unidades SI y CGS aquí.
Convirtiendo centímetros y gramos CGS a metros y kilogramos SI, luego igualando las dos expresiones de la fuerza en la ley de Coulomb, encontramos que la conversión de un Culombio es la misma cantidad de carga que $2.99792458 \times 10^9$ esu.
Referencia
Esta respuesta es un resumen de un apéndice de Electricity and Magnetism de Purcell.
¿No se supone que la carga es una propiedad inherente de la naturaleza al igual que la masa?
Por supuesto, pero aún podemos elegir medirlo utilizando unidades de masa, tiempo y longitud si queremos. Las ecuaciones aún realizan predicciones físicas precisas que podemos probar con experimentos. Echa un vistazo a la respuesta de KennyTM a continuación. Incluso podemos medir la masa en términos de tiempo y longitud estableciendo $G=1$ o, si queremos, tomando el kilogramo estándar y definiéndolo como un metro^3/seg^2 (estas son opciones diferentes). Todas nuestras fórmulas seguirían funcionando y las unidades seguirían equilibradas.
@GigiButbaia ¡Gracias por tus ediciones agradables! Una objeción: la mayoría de los manuales de estilo recomiendan el uso de caracteres verticales para los nombres y abreviaturas de unidades, para distinguirlos de los nombres de variables que se deben establecer en caracteres en itálica (por ejemplo, \mathrm{metros/segundo^2} para dar $\mathrm{metros/segundo^2}$)
Sí, la dimensión es diferente. En el SI la corriente (A) es una unidad base independiente de la longitud (m), la masa (kg) y el tiempo (s) porque así lo elegimos, pero en la unidad gaussiana CGS no lo es (1 unidad de corriente = 1 g1/2 cm3/2 s-2), al establecer $\epsilon_{0,SI} = \frac1{4\pi}$. Esto también conduce a algunos resultados quizás inintuitivos, como que la capacitancia en el sistema gaussiano CGS es "centímetro" y la resistividad es "segundo".
El sistema de unidades es realmente arbitrario. Podríamos, por ejemplo, hacer que cada observable físico sea un número adimensional al establecer $c = \hbar = k_B = \frac1{4\pi\epsilon_0} = G = 1$, y obtendríamos la unidad natural de Planck, aunque esos números se volverían inconvenientemente grandes o pequeños. Esta es también la razón de la introducción del amperio (y el voltio y el ohmio) como unidades separadas, ya que el tamaño de esa "unidad de corriente" es imprácticamente pequeño en la vida cotidiana (1 unidad de corriente CGS es 3 × 10-8 A).
Es cierto porque todas las cantidades en la expresión cambian de dimensión, no solo la fuerza, sino también la carga y la distancia. Pero no solo eso: hay diferentes variaciones del sistema CGS. La que escribiste es CGS electrostático, y elige las unidades de carga para que $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=1$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
physics.stackexchange.com/q/1595 está relacionado, pero no estoy seguro si realmente es un duplicado.
3 votos
Para mí, claramente no es un duplicado.