¿Cómo puedo explicar geométricamente por qué $ dA / dr = 2 \pi r $?

Question

Hay esta pregunta en mi libro de cálculo que va más o menos así:

La derivada del área de un círculo con respecto a su radio es igual a la circunferencia del círculo ($dA/dr = 2 \pi r$). Da una explicación geométrica de por qué esto es así.

Para mí esto es realmente obvio, pero encuentro difícil de explicarlo con palabras. Si aumentaras el radio del círculo poniendo tu dedo dentro y empujando el borde hacia afuera, entonces tendrías que empujarlo alrededor de toda la circunferencia del círculo. Jeje. No sé.

Answer 1

Es porque el área de un círculo es realmente la suma de infinitos perímetros de círculos, que es la integral: $$ \int_{0}^{r} \! 2\pi{}t \, dt $$

Ver http://betterexplained.com/articles/a-gentle-introduction-to-learning-calculus/ para una explicación clara

Answer 2

Eso no está tan mal. Prueba con este:

Si quieres un círculo más grande con el mismo centro que tiene radio $r+\Delta r$ entonces la circunferencia del círculo más grande es $2\pi (r+\Delta r)$. El borde está a una distancia constante $\Delta r$ del borde del círculo original todo alrededor.

El área entre los dos círculos está en algún punto entre la de un rectángulo $\Delta r \times 2\pi r$ y un rectángulo $\Delta r \times 2\pi (r+\Delta r)$. Así que la tasa de cambio de esta área mientras $\Delta r$ cambia está entre $2\pi r$ y $2\pi (r+\Delta r); toma el límite cuando $\Delta r$ tiende a $0$ para obtener el resultado.

Answer 3

Dibuja un círculo con área $A$ y radio $r$, luego dibuja alrededor de él un círculo más grande. La distancia desde tu primer círculo hasta el segundo es $dr$, y la diferencia de las áreas es $dA$. A medida que $dr \to 0$, $dA$ se acerca a la circunferencia del círculo interior, por lo tanto, $dA \to 2\pi r\:dr$.