derivado $\frac{\ln{x}}{e^x}$

Question

Me piden que resuelva encontrar la derivada de: $$ \frac{\ln x}{e^x}$$ mi intento $$D\frac{\ln x}{e^x} = \frac{\frac{1}{x}e^x + \ln (x) e^x}{e^x} = e^x \frac{\frac{1}{x}+\ln x}{e^{2x}} = \frac{\frac{1}{x}+\ln x}{e^x}$$

Pero esto es aparentemente erróneo y la respuesta correcta es: $$\frac{\frac{1}{x} - \ln x}{e^x}$$

¿En qué me equivoco?

Answer 1

Recordemos la fórmula:

$$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$$

¡Se te olvidó el signo menos!

Answer 2

En lugar de llevar la regla del cociente en el cerebro, yo me quedaría con la regla del producto. En este caso

$$\left(\ln(x)e^{-x}\right)'=\frac{1}{x} e^{-x}+\ln(x)(-e^{-x})=e^{-x}\left(\frac{1}{x}-\ln(x)\right)$$

Answer 3

se necesitará la regla del cociente y obtendremos $$\frac{\frac{1}{x}e^{x}-\ln(x)e^{x}}{(e^x)^2}$$

Answer 4

Utilice la regla del cociente correcta, D(u/v) = (u' v - u v') / v^2

                       D( lnx / e^x )  = ( 1/x * e^x - lnx * e^x )/ e^2x
                                       = ( 1/x - lnx)/e^x

Answer 5

Tenga en cuenta que: $$ \frac{\ln x}{e^x}=e^{-x}\ln {x}$$ Y $$(uv)'=u'v+uv'$$ Así, $$ (\frac{\ln x}{e^x})'=(e^{-x}\ln {x})'=(-e^{-x}\ln {x})+(\frac{e^{-x}}{x})=\frac{\frac{1}{x} - \ln x}{e^x}$$