Extensión de Galois, campo intermedio.

Question

Supongamos que L / K es Galois, M un campo intermedio entre L y K. Supongamos que ningún campo intermedio entre L y M es Galois sobre K, excepto L en sí. Demuestre que si N es un subcampo de L que contiene todos los campos$\sigma(M)$ para$\sigma\in Gal(L/M)$, entonces N = L. Estoy tratando de demostrar esto por contradicción. Sé que tengo que usar la correspondencia de Galois, ¿cómo trato con N y M?

Answer 1

La traducción de las piezas de información, utilizando la correspondencia de Galois sugiere el siguiente plan de ataque (justificar los pasos/reclamaciones):

Deje $G=Gal(L/K)$, y deje $H$ ser el subgrupo correspondiente a $M$, es decir,$H=Gal(L/M)$.

1. Un intermedio de campo $F$ es de Galois sobre $K$, iff $Gal(L/F)\unlhd G$.
2. Si $T$ es un subgrupo de $H$ tal que $T\unlhd G$,$T=\{1\}$.
3. $N$ contiene $\sigma(M)$ todos los $\sigma\in G$, lo $Gal(L/N)\le \sigma H\sigma^{-1}$ todos los $\sigma\in G$.
4. Tenemos $$Gal(L/N)\le\bigcap_{\sigma \in G}\sigma H\sigma^{-1}.$$
5. El subgrupo $$\bigcap_{\sigma \in G}\sigma H\sigma^{-1}\unlhd G.$$
6. $Gal(L/N)\le\bigcap_{\sigma \in G}\sigma H\sigma^{-1}=\{1\}.$
7. $N=L$.

Usted verá que el uso de la correspondencia de Galois es en realidad bastante sencillo. Toma un poco de práctica para acostumbrarse a (todos hemos estado allí). Si mal no recuerdo me tomó un tiempo para interiorizar los efectos de la orden de inversión (= mayor intermedios campos corresponden a los subgrupos más pequeños).