Una prueba de que $\frac{\log^k(1)+\log^k(2)+\dotsb +\log^k(n)}{1^k+2^k+\dotsb +n^k} \to 0$

Question

Dejemos que $\left(a_n\right)$ sea la siguiente secuencia: $$a_n =\frac{\log^k\left(1\right)+\log^k\left(2\right)+\dotsb +\log^k\left(n\right)}{1^k+2^k+\dotsb +n^k},$$ para un fijo $k \in \mathbb{N}$ . Demostrar que $a_n \to 0$ . Hay muchas pruebas para esto, pero creo que esta es una elegante. Me gustaría que lo comprobaras, primero porque lo considero bonito y conciso y elemental, y segundo porque me gustaría asegurarme de que no hay errores.

Empecemos: En primer lugar, $a_n\geq 0 \ \forall \,n \in \mathbb{N}$ . Escribimos $a_n$ como

$$\frac{1^k\left(\frac{\log\left(1\right)}{1}\right)^k+2^k\left(\frac{\log\left(2\right)}{2}\right)^k+\dotsb +n^k\left(\frac{\log\left(n\right)}{n}\right)^k}{1^k+2^k+\dotsb +n^k}.$$

Es evidente que $\left(\frac{\log\left(n\right)}{n}\right)^k \to 0$ . Sea $\varepsilon >0$ . Entonces $\exists\, n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n \geq n_0, \left(\frac{\log\left(n\right)}{n}\right)^k < \varepsilon$ .

Tenemos

\begin{align*} a_n&=\frac{1^k\left(\frac{\log\left(1\right)}{1}\right)^k+\dotsb +\left(n_0-1\right)^k\left(\frac{\log\left(n_0-1\right)}{n_0-1}\right)^k+ n_0^k\left(\frac{\log\left(n_0\right)}{n_0}\right)^k+\dotsb+n^k\left(\frac{\log\left(n\right)}{n}\right)^k}{1^k+2^k+\dotsb +n^k}\\ &=\frac{1^k\left(\frac{\log\left(1\right)}{1}\right)^k+\dotsb +\left(n_0-1\right)^k\left(\frac{\log\left(n_0-1\right)}{n_0-1}\right)^k }{1^k+2^k+\dotsb +n^k} + \frac{n_0^k\left(\frac{\log\left(n_0\right)}{n_0}\right)^k+\dotsb+n^k\left(\frac{\log\left(n\right)}{n}\right)^k}{1^k+2^k+\dotsb +n^k}\\ &\leq\frac{1^k\left(\frac{\log\left(1\right)}{1}\right)^k+\dotsb +\left(n_0-1\right)^k\left(\frac{\log\left(n_0-1\right)}{n_0-1}\right)^k }{1^k+\dotsb +n^k}\\ & \qquad \qquad+ \frac{\varepsilon\left(1^k+\dotsb +\left(n_0-1\right)^k\right)+n_0^k\left(\frac{\log\left(n_0\right)}{n_0}\right)^k+\dotsb +n^k\left(\frac{\log\left(n\right)}{n}\right)^k}{1^k+\dotsb +n^k}\\ &\leq\frac{1^k\left(\frac{\log\left(1\right)}{1}\right)^k+\dotsb +\left(n_0-1\right)^k\left(\frac{\log\left(n_0-1\right)}{n_0-1}\right)^k }{1^k+\dotsb +n^k} + \frac{\varepsilon\left(1^k+2^k+\dotsb +n^k\right)}{1^k+2^k+\dotsb +n^k}\\ &=\frac{1^k+2^k+\dotsb +\left(n_0-1\right)^k}{1^k+2^k+\dotsb +n^k}+\varepsilon. \end{align*}

Ahora, tomando el limsup y el liminf como $n \to\infty$ y como

$$\frac{1^k+2^k+\dotsb +\left(n_0-1\right)^k}{1^k+2^k+\dotsb +n^k}\to 0,$$ tenemos

$$0 \leq \limsup\left(a_n\right) \leq \varepsilon \quad\text{and}\quad 0\leq \liminf\left(a_n\right) \leq \varepsilon.$$ Pero $\varepsilon$ era arbitrariamente pequeño, por lo que

$$\liminf\left(a_n\right)=\limsup\left(a_n\right)=0=\lim\left(a_n\right).$$

Esto es más bien una discusión y no tanto una pregunta :)

Answer 1

Tengo quizás una prueba más elegante:

$$\begin{align}a_n&=\frac{\log^k(1)+\dots+\log^k(n)}{1^k+\dots+n^k}\\&<\frac{\log^k(n)+\dots+\log^k(n)}{n^k}\\&=\frac{n\log^k(n)}{n^k}\\&=\frac{\log^k(n)}{n^{k-1}}\\&\to0\end{align}$$

El primer paso se desprende del hecho de que $\frac ab<\frac cd$ si $c>a$ y $d<b$ para números positivos $a,b,c,d$ .

El límite se obtiene entonces dejando que $n^{k-1}=u^k$ , lo que da

$$\frac{\log^k(n)}{n^{k-1}}=\left[\frac k{k-1}\frac{\log(u)}u\right]^k$$

y el límite se toma entonces como dado.

Answer 2

Arreglar $k\in \mathbb N.$ Dejemos que $a_n$ sea el numerador, $b_n$ el denominador. Entonces $b_n \to \infty.$ Es hora de pensar en Stolz-Cesaro, que sugiere que consideremos

$$\tag 1 \frac{a_{n+1}- a_n}{b_{n+1}- b_n} = \frac{\ln^k (n+1)}{(n+1)^k} = \left (\frac{\ln (n+1)}{n+1} \right )^k.$$

Desde $[\ln (n+1)]/(n+1) \to 0,$ el lado derecho de $(1)$ $\to 0.$ Según Stolz-Cesaro, el límite de interés es $0.$

Answer 3

Anotar \begin{eqnarray} 0&<&\frac{\log^k(1)+\dots+\log^k(n)}{1^k+\dots+n^k}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\frac{\log i}{n})^k}{\frac1n\sum_{i=1}^n(\frac{i}{n})^k}\\ &\le& \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\frac{\log n}{n})^k}{\frac1n\sum_{i=1}^n(\frac{i}{n})^k}=\frac{(\frac{\log n}{n})^k}{\frac1n\sum_{i=1}(\frac{i}{n})^k}, \end{eqnarray} y $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{n}=0, \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n(\frac{i}{n})^k=\int_0^1x^kdx=\frac1{k+1},$$ por lo que se tiene $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log^k(1)+\dots+\log^k(n)}{1^k+\dots+n^k}=0. $$