Si $ax^2-bx+c=0$ tiene dos raíces reales distintas situadas en el intervalo $(0,1)$ $a,b,c$ pertenece a la prueba natural que $\log_5 {abc}\geq2$

Question

Si $ax^2-bx+c=0$ tiene dos raíces reales distintas situadas en el intervalo $(0,1)$ con $a, b, c\in \mathbb N$ , demuestre que $\log_5 {abc}\geq2$ .

Las ecuaciones que pude formar son:

1) $f(0)>0$ y $f(1)>0$

2) $\frac{b}{2a}$ se encuentra entre $0$ y $1$ Porque..: $\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}<\frac{b}{2a}<\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} $ .

3) $\Delta=b^2-4ac > 0$

Answer 1

Tenemos que demostrar que $abc\ge25$ . Como ambas raíces son reales y distintas, tenemos que $b^2-4ac>0$ y así $b^2>4ac$ . Como ambas raíces están en (0,1), su media $\frac{b}{2a}<1$ y por lo tanto $b<2a$ . Dado que la raíz más grande $\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<1$ tenemos que $b+\sqrt{b^2-4ac}<2a$ y por lo tanto $\sqrt{b^2-4ac}<2a-b$ . Elevando al cuadrado ambos lados se obtiene $b^2-4ac<4a^2-4ab+b^2$ Así que $4ab<4a^2+4ac$ y por lo tanto $b<a+c$ . Desde $2a>b$ tenemos que $4a^2>b^2>4ac$ y por lo tanto $a>c$ . Desde $b^2\ge4ac+1$ y $a\ge c+1$ concluimos que $b^2\ge 4c(c+1)+1=(2c+1)^2$ y por lo tanto $b\ge 2c+1$ . Por lo tanto, $abc\ge (c+1)(2c+1)c>25$ si $c\ge 2$ . Cuando $c=1$ , $b<a+1$ implica que $b\le a$ Así que $a^2\ge b^2>4a$ y por lo tanto $a\ge 5$ . Entonces $b^2>4a\ge20$ Así que $b\ge5$ y $abc=ab\ge25$ .