Si el producto escalar es igual, entonces los operadores son iguales.

Question

Quiero mostrar lo siguiente:

Sea H un$\mathbb C$ -hilbert espacio y$S,T\in L(X)$

Si$\langle Sx,x \rangle = \langle Tx,x \rangle$ para todos$x\in H$, entonces$S=T$

¿Alguna pista para mí?

Answer 1

Consejos:

1. Basta con mostrar que$$\langle Tx,x \rangle=0, \qquad x \in H,$$ implies $ T = 0 $.
2. Concluya desde$\langle T(x+y),(x+y) \rangle=0$ que$$\langle Tx,y \rangle + \langle Ty,x \rangle = 0. \tag{1}$ $
3. Reemplace$y$ en$(1)$ por$\imath y$.
4. Combina ambas ecuaciones (del paso 2,3) para obtener$$\langle Tx,y \rangle=0.$ $
5. Concluir.

Referencia: Walter Rudin, Análisis funcional , Teorema 12.7.

Answer 2

Soppuse$x,y\in H$, luego$x+y, x+iy\in H$. Por lo tanto, desde$\langle x,T(x)‎\rangle=\langle x,S(x)‎\rangle$, tenemos$\langle x+y,T(x+y)‎\rangle+‎\langle x+iy,T(x+iy)‎\rangle =‎ ‎\langle x+y,s(x+y)‎\rangle +‎\langle x+iy,s(x+iy)‎\rangle ‎‎$,

así que tenemos$2\langle x,T(y)‎\rangle =‎ 2‎\langle x,s(y)‎\rangle$ para cada$x,y\in H$. Por lo tanto,$\langle x,T(y)-S(y)‎\rangle=0$ para cada$x,y\in H$. deje$x=T(y)-S(y)$, luego$\langle T(y)-S(y),T(y)-S(y)‎\rangle=0$, por lo tanto$T(y)=S(y)$ para cada$y\in H$, así que$T=S$