Polinomio en$\mathbb Z[X]$ con una raíz peculiar

Question

Vi este problema en un sitio web hace un tiempo y todavía estoy atascado.

Dejar $\alpha = \large\sqrt[7] \frac{3}{5}+\sqrt[7] \frac{5}{3}$.

Encuentre y pruebe la singularidad de un polinomio$P \in \mathbb Z[X]$, con un grado$7$ y el coeficiente principal$-15$, de manera tal que$P(\alpha)=0$

Definitivamente tiene algo que ver con propiedades de$r+\frac{1}{r}$.

Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Podemos utilizar la identidad $$\eqalign{ (X+Y)^7-X^7-Y^7&=7XY(X+Y)(X^2+XY+Y^2)^2\cr &=7XY(X+Y)((X+Y)^2-XY)^2 }$$ Lo que la elección de $X=\root{7}\of{3/5}$$Y=1/X$, de modo que $\alpha=X+Y$ tenemos $$\alpha^7-\frac{3}{5}-\frac{5}{3}=7\alpha(\alpha^2-1)^2$$ y esto se reduce a $$34+105\alpha-210\alpha^3+105\alpha^5 -15\alpha^7=0.$$ Ahora, vamos a demostrar que $$P(X)=34+105X-210X^3+105X^5 -15 X^7$$ es Irreducible en a $\Bbb{Z}[X]$ (o, equivalentemente, en $\Bbb{Q}[X]$). De Hecho, Si $$Q(X)=X^7P(1/X)=34X^7+105X^6-210X^4+105X^2 -15$$ Entonces claramente $5$ divide todos los coeficientes de $Q$ a excepción de la primera, y $25$ no divide el término constante. Esto demuestra que $Q$ es irreducible en a $\Bbb{Z}[X]$ según Eisenstein Irreductibilidad criterio. De modo que la misma tiene para $P$.

Ahora bien, el hecho de que $P$ es irreductible $\Bbb{Z}[X]$, demuestra que es el polinomio mínimo de a $\alpha$ (porque de lo contrario el polinomio mínimo sería un factor de $P(X)$), y este minimality implica la unicidad de la declaración de su pregunta. $\qquad\square$