Dada una matriz $A$, encontramos a $A^n$

Question

Dada la matriz $$A = \left[{9\atop20}{-4\atop-9}\right]$$ how do I find $A^7$ or $^{54}$ or $^{2008}$ (etc.) ?

Yo sé que tengo los autovalores de A, pero no estoy seguro de qué hacer después.

• Es la respuesta de un $2 \times 2$ de la matriz?
• ¿Qué papel desempeñan los autovalores de juego en la solución del problema?
• Cuál es la puesta en marcha de la solución?
• Puede que este proceso se utiliza en la mayor de las matrices cuadradas? ($A_{3\times3}$o $A_{4\times4}$ o $A_{n\times n}$)?

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Autovalores:

$$\det(\lambda I_n-A)=0$$ $$\det\left( \lambda \left[{1\atop0}{0\atop1}\right] -\left[{9\atop20}{(-4)\atop(-9)}\right] \right)=0$$ $$\det\left( \left[{\lambda\atop0}{0\atop\lambda}\right] -\left[{9\atop20}{(-4)\atop(-9)}\right] \right)=0$$ $$\det\left( \left[{(\lambda-9)\atop(-20)}{4\atop(\lambda+9)}\right] \right)=0$$ $$(\lambda-9)(\lambda+9) -(20)(-4)=0$$ $$(\lambda^2-9\lambda+9\lambda-81) +80=0$$ $$\lambda^2-1=0$$ $$\lambda^2=1$$ $$\lambda=\pm1$$

Answer 1

Sugerencia: a Veces, diagonalización, pero a veces incluso más fácil.

$$A^2=I$$

Answer 2

Diagonalize su matriz $A$

$$A = P^{-1}DP$$

$$A^{n} = P^{-1}D^{n}P$$

$D^n$ es fácilmente solucionable, en la forma $$D^{n} = \begin{bmatrix} \lambda1^{n} & 0 \\ 0 & \lambda2^{n} \end{bmatrix}$$

Multiplicar $P^{-(1)}D^nP$ hacia fuera y tiene su respuesta.

En el caso de la matriz que dio a $A$ a una potencia par $= I A^{odd}$ $^{power} = A$

Answer 3

Diagonalize una matriz es difícil (dado que la búsqueda de las raíces de un polinomio es realmente difícil en general. En particular, si el grado de su polinomio es mayor o igual a $5$, no hay ninguna fórmula general para obtener las raíces de su polinomio). Pero siempre se puede encontrar un polinomio $P$ tal que $P(A)=0$ (si $A$ es la matriz), por ejemplo, el polinomio característico. A continuación, para evaluar $A^n$ simplemente escribir la división de $X^n$ $P$

$$ X^n = P(X)Q(X)+R(X) $$

con el grado de $R$ < grado de $P$. Y, a continuación,

$$A^n = P(A)Q(A)+R(A)=R(A).$$

Answer 4

Sugerencia Ingeneral Diagonalize la matriz $A$

$D=QAQ^{-1}$ para algunos es invertible $Q$ $D=diag\{1,-1\}$

ahora $D^n=QA^nQ^{-1}$

por lo $A^7=Q^{-1}D^7Q$

Ahora se puede encontrar la matriz de $Q$?

pero como en tu caso se ve $A^2=I$ $A^{54}=I,A^7=A^6\times A=I\times A=A$

Answer 5

$$A^2=I$$ $$A^3=A^2A=IA=A$$ $$(A^{even}=I)$$ $$(A^{odd}=A)$$

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Diagonalize la matriz $A$ $$A=PDP^{-1}$$ $$A^n=(PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1}$$ $$D=\left[{\lambda_1\atop\lambda_2}\right]\left[{1\atop0}{0\atop1}\right]=\left[{\lambda_1\atop0}{0\atop\lambda_2}\right]=\left[{1\atop0}{0\atop-1}\right]$$ $$P=\left[v_1 v_2\right]$$ $$(A-\lambda_i I)v_i={0}$$

$$\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end\begin{align*} \mathrm{Im}(A) &= \Bigl\{ \mathbf{b}\in\mathbb{R}^m\Bigm| A\mathbf{x}=\mathbf{b}\text{ has at least one solution}\Bigr\}\\ &= \Bigl\{ A(\mathbf{x})\Bigm|\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\Bigr\}. \end-------------$$

$$\left(\left[{9\atop20}{(-4)\atop(-9)}\right]-(1)\left[{1\atop0}{0\atop1}\right]\right)\left({v_1x_1\atop v_1x_2}\right)=0$$

$$\left[{8\atop20}{-4\atop-10}\right]\left({v_1x_1\atop v_1x_2}\right)\rightarrow {8v_1x_1-4v_1x_2=0\atop 20v_1x_1-10v_1x_2=0} \rightarrow {v_1x_1=1\atop v_1x_2=2}\rightarrow v_1=\left[{1\atop2}\right]$$

$$--$$

$$\left (- (-1)I \right)\left({v_2}\right)=0 \rightarrow v_2=\left[{1\atop5/2}\right]$$

$$--$$

$$P=\left[{1\atop 2}{1\atop (5/2)}\right]$$ $$P^{-1}={-1\over det(A)}\left[{\searrow\atop-}{-\atop\nwarrow}\right]=\left[{-10\atop8}{4\atop-4}\right]$$

$$-----------------------$$

$$A^{2008}= PD^{2008}P^{-1}$$

$$A^{2008}=\left[{1\atop 2}{1\atop (5/2)}\right] \left[{1\atop0}{0\atop-1}\right]^{2008} \left[{-10\atop8}{4\atop-4}\right] = \left[{1\atop0}{0\atop1}\right]$$