Ecuaciones de Schwinger-Dyson en la calibre de Coulomb

Question

Introducción

Hasta donde yo sé (¡y por favor corríjame si algo está mal!), la narrativa habitual para tratar la teoría de perturbaciones en QED con la gauge de Coulomb es la siguiente:

Primero, el campo de la gauge se fija a $$ \nabla\cdot\vec A(x)=0\tag{1} $$ de modo que las ecuaciones de movimiento sean $$ \begin{aligned} \nabla^2 A^0(x)&=J^0(x)\\ \partial^2\vec A(x)&=P(\nabla)\vec J(x) \end{aligned} \tag{2} $$ donde $\partial^2=\partial_0^2-\nabla^2$ y $$P^{ij}(\vec k)=\delta^{ij}-\frac{k^ik^j}{\vec k^2}\tag{3}$$ es el proyector en la parte transversal de la corriente.

Ahora, la ecuación de movimiento para $A^0$ no es dinámica, por lo que integramos ese campo eliminándolo al establecer $$ A^0=\frac{1}{\nabla^2}J^0 \tag{4} $$ en el Lagrangiano, generando el conocido término no local de Coulomb.

Por otro lado, el campo verdadero es $\vec A$, y su propagador es $$ \Delta^{ij}(k)=\frac{P^{ij}(\vec k)}{k^2+i\epsilon} \tag{5} $$

El punto importante es el siguiente: el término no local es, para todos los propósitos prácticos, equivalente a un propagador extendido $\Delta^{\mu\nu}$ tal que coincide con $\Delta^{ij}$ en las componentes espaciales, y $$ \Delta^{00}(\vec k)=\frac{1}{\vec k^2} \tag{6} $$

Se puede demostrar que este propagador extendido es el mismo que el propagador covariante en la gauge de Feynman $\xi=1$, salvo términos (no covariantes) proporcionales a $k^\mu, y por lo tanto la teoría es, después de todo, covariante.

Aunque siga siendo cierto que $\Delta^{ij}=\langle A^i A^j\rangle$, ahora no hay un operador correspondiente a $\Delta^{00}$.

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Mi duda: Un ejemplo

¿Hasta aquí todo bien (?). Ahora, la cancelación de los términos $k^\mu$ puede demostrarse, en términos generales, gracias a las identidades de Ward-Takahashi, que afirman que las funciones de correlación generales son cero cuando se contraen con $k^\mu$ (más o menos: no necesariamente deben ser cero, pero su forma está altamente restringida).

Pero me parece que estas identidades no pueden usarse ingenuamente en la gauge de Coulomb, porque ya no tenemos $A^0, y por lo tanto, las funciones de correlación no incluyen la componente $\mu=0. En otras palabras, las verdaderas funciones de correlación son $$ \langle 0|T\ A^i(x)A^j(y)\psi(z)\cdots|0\rangle \tag{7} $$ y es imposible contraer esto con $\partial_\mu. Así que supongo que aún podemos escribir $$ \partial_\mu\langle J^\mu \psi_1\psi_2\cdots\rangle=\text{término de contacto} \tag{8} $$ pero, en la gauge de Coulomb, no hay una relación simple entre $\langle J^\mu\cdots\rangle$ y $\langle A^\mu\cdots\rangle. En medidores generalizados tenemos $$ \langle A^\mu \cdots\rangle=\frac{1}{\partial^2}\langle J^\mu\cdots\rangle+\text{término de contacto} \tag{9} $$ pero esto ya no es cierto en la gauge de Coulomb.

O dicho de otra manera: podemos escribir las identidades WT con $J^\mu$ en lugar de $A^\mu, pero esto no nos lleva mucho más lejos: para mostrar la cancelación de los términos $k^\mu, debemos escribir la función de correlación en términos de $A^\mu. En los medidores covariantes esto es fácil: usando $-\partial^2 A^\mu=J^\mu$, podemos reemplazar cualquier $A^\mu$ en una función de correlación, salvo un propagador $1/k^2$ y un término de contacto (debido al símbolo $T). Pero esto ya no es cierto en la gauge de Coulomb: para empezar, $\langle A^\mu\cdots\rangle$ no está definido para $\mu=0$.

Después de todo, las ecuaciones $(8)$ y $(9)$ son un ingrediente esencial para la prueba del hecho de que los términos $k^\mu$ no contribuyen a las predicciones medibles (por ejemplo, ver el libro de Srednicki, capítulos 67-68; en particular, ecuaciones [67.9] - [67.12]).

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Mi pregunta

En un contexto más general, ¿qué se puede decir acerca de las ecuaciones de Schwinger-Dyson en la gauge de Coulomb? ¿Siguen siendo válidas? ¿podemos usar $A^\mu, o debemos restringirnos a $A^i? ¿Cómo podemos utilizar eficientemente el hecho de que la interacción no local es equivalente a un propagador extendido? ¿Cómo se implementa esto en el nivel de las ecuaciones de DS en lugar del nivel de los diagramas de Feynman?

Según tengo entendido, para medidores covariantes generales las ecuaciones de DS funcionan perfectamente, y son válidas para las cuatro componentes de $A^\mu$.

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Información adicional

Weinberg, en su libro de QFT, en el capítulo 9.6 introduce un campo auxiliar $A^0$ y lo agrupa junto con el antiguo $A^i$ físico de tal manera que $A^\mu$ pueda pensarse formalmente como un campo vectorial, con $A^0 comportándose como si fuera su verdadera componente temporal (ver página 415, en particular la discusión debajo de 9.6.6). Esto es más o menos lo que me gustaría: quiero usar la gauge de Coulomb, pero también quiero usar $A^\mu, para poder utilizar las identidades de WT o cualquier ecuación de DS en general. Pero aquí Weinberg utiliza integrales de camino en lugar de operadores. Suspiro.

Si alguien conoce alguna buena fuente donde se discuta a fondo la QED en la gauge de Coulomb (¡sin integrales de camino!), sería muy muy bienvenida.

Answer 1

Aunque $A^0$ no es un campo dinámico, sigue siendo un campo cuántico perfectamente definido y, por lo tanto, se puede utilizar para contraer con otras expresiones vectoriales.

La fuente estándar para QED canónico en la gauge de Coulomb es el libro clásico (aunque ahora algo desactualizado) de Bjorken y Drell, Teoría cuántica de campos relativista.

Answer 2

1. OP está preguntando sobre diferentes opciones de fijación del calibre en QED, como por ejemplo, calibre de Coulomb, calibre de Lorenz en el calibre de Feynman $\xi=1$, etc. Los observables físicos son invariantes bajo la simetría del calibre, y no dependen de las elecciones de fijación de calibre.

2. OP está preguntando específicamente sobre el destino de correlaciones de $n$ puntos no invariantes al calibre que involucran el campo $A^0$ usando el calibre de Coulomb. Esto es quizás más fácil de ver en la formulación integral de caminos. Se debe tener en cuenta los términos de fijación de calibre arriba$^1$ en la acción de QED con calibre fijo.

   • Si no hay campos $A^0$ abajo en la correlación de $n$ puntos, la integral de camino de $A^0$ es una integral Gaussiana, lo que produce el término del potencial de Coulomb habitual entre fuentes de carga arriba.
   • Si hay campos $A^0$ abajo en la correlación de $n$ puntos, la integral de camino todavía se puede realizar a través del conjunto habitual de trucos de Feynman.

3. Las ecuaciones de Schwinger-Dyson pertinentes e identidades de Ward con los términos apropiados de fijación de calibre siguen siendo válidos en un calibre arbitrario.

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$^1$ Una función correladora $\langle F \rangle$ en la formulación integral de caminos es esquemáticamente de la forma $\langle F \rangle=\frac{1}{Z} \int F e^{\frac{i}{\hbar}S}$. Las palabras abajo y arriba se refieren a $F$ y $S$, respectivamente, por razones esperanzadamente obvias.