Construyendo el 11-gon dividiendo un ángulo en cinco

Question

En "Ángulo de Trisection, el Heptagon, y el Triskaidecagon", publicado en el American Mathematical Monthly , en Marzo de 1988, Andrew Gleason se discute qué polígonos regulares pueden ser construidos con el compás, la regla y el ángulo trisector. Al final de ese artículo señala que el ángulo p-sectores necesarios para un n-ágono son los impares, números primos p dividiendo $\varphi(n)$.

Para el heptagon, que sólo requiere un ángulo trisector, él da el polinomio mínimo de a $2\cos(2\pi/7)$ $$x^3+x^2-2x-1$$ y lo transforma en el polinomio de Chebyshev de expresión $$7\sqrt{28}(4\cos^3\theta-3\cos\theta)=7$$ que conduce a la final de la identidad $$\sqrt{28}\cos\left(\frac{\cos^{-1}(1/\sqrt{28})}{3}\right)=1+6\cos(2\pi/7).$$

Estoy interesado en el hendecagon (11 lados), lo que requiere un ángulo de quinsector (que se divide un ángulo en cinco partes iguales).

Hay una transformación similar entre el polinomio mínimo de a $2\cos(2\pi/11)$ $$x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1$$ y el correspondiente polinomio de Chebyshev $$\cos 5\theta=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta$$ y ¿cómo puedo encontrarlo? Si he tenido una transformación, podría construir una exacta hendecagon con el quinsector.

He tratado de Tschirnhaus transforma en la antigua polinomio, sin éxito.

Answer 1

La pregunta esencialmente pregunta acerca de la transformación de solución de ecuaciones de una forma a otra.

I. Cúbicos

Utilizando sólo una transformación lineal, el general cúbico $P(x)=0$ puede ser transformada a la forma,

$$y^3+3ay+b = 0\tag1$$

con la solución,

$$y_k = 2\sqrt{-a}\;\cos\left(-\tfrac{2\pi\,k}{3}+\tfrac{1}{3}\,\arccos\big(\tfrac{-b}{2\sqrt{-a^3}}\big)\right)\tag2$$

para $k=0,1,2$. Deshaciendo la transformación establece una relación entre las raíces $x,y$.

II. Quintic

Del mismo modo, una adecuada Tschirnhausen transformación puede transformar una solución quintic $P(x)=0$ a la Demoivre forma (esencialmente el polinomio de Chebyshev mencionado por la OP),

$$y^5+5ay^3+5a^2y+b = 0\tag3$$

con el análogo de la solución,

$$y_k = 2\sqrt{-a}\;\cos\left(-\tfrac{2\pi\,k}{5}+\tfrac{1}{5}\,\arccos\big(\tfrac{-b}{2\sqrt{-a^5}}\big)\right)\tag4$$

para las cinco raíces de $y_k$. Un cúbicos Tschirnhausen nos da tres grados de libertad para transformar una solución quintic a Demoivre forma.

III. La transformación

Para $p=7$:

$$x=2\cos\big(\tfrac{2\pi}{7}\big)\tag5$$

$$\color{blue}{y=3x+1} = 2\sqrt{7}\cos\left(\tfrac{1}{3}\,\cos^{-1}\big(\tfrac{1}{2\sqrt{7}}\big)\right)=4.7409\dots$$

que resuelve,

$$x^3+x^2-2x-1=0$$ $$y^3-21y-7=0$$

Para $p=11$:

Deje $\phi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ la proporción áurea.

$$x=2\cos\big(\tfrac{2\pi}{11}\big)\tag6$$

$$\color{blue}{y=x^3-\phi\,x^2-\tfrac{7+\sqrt{5}}{2}x+\tfrac{5+4\sqrt{5}}{5}} = 2\,\phi\sqrt{\tfrac{11}{5}}\cos\left(-\tfrac{6\pi}{5}+\tfrac{1}{5}\,\cos^{-1}\big(\tfrac{-89-25\sqrt{5}}{44\sqrt{11}}\big)\right)=-4.7985\dots$$

que resuelve,

$$x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1=0$$ $$y^5-5ay^3+5a^2y+b=0$$

donde $a=\tfrac{11}{5}\phi^2,\;\;b=\tfrac{11(125+89\sqrt{5})}{250}\phi^5$.

Así como se puede ver, la transformación (en azul), que se refiere a la quintic raíces $x,y$ es más complicado que el cúbicos versión, pero de todos modos es factible en los radicales.

Answer 2

Si el objeto es la construcción de un regular hendecagon, se puede hacer de manera más simple, sin pasar a través de un ángulo quinsection. Benjamin y Snyder se demostró la existencia de una construcción con una marcada regla y el compás en 2014 (BENJAMIN, ELLIOT; SNYDER, C. Procedimientos Matemáticos de Cambridge Filosófica Society156.3 (Mayo de 2014): 409-424.; http://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753 ).

Las premisas básicas de la construcción es la siguiente:

1) Se basa en las propiedades de "conchoid-círculo de construcciones, donde nos coloque el marcado regla para paas través de un punto fijo $P$, con una marca en una línea de $l$ y el otro en un círculo de $K$.

2) Con este tipo de construcción, se puede definir un "firmado distancia" $z$. Esta es la distancia entre el $P$ y la marca en $K$, con un signo negativo si esa marca se encuentra vetween $P$ y la otra marca que es en $l$, un signo positivo en caso contrario.

3) a Continuación, $z$ satisface una sextic ecuación cuyos coeficientes de satisfacer ciertas relaciones llamado el "rayando teorema".

4) La quintic ecuación dada aquí para la hendecagonal cosenos se convierte en un sextic ecuación que satisface la rayando el teorema de por (4.1) la definición de $z=ux$ para un factor de escala $u$, y (4.2) la introducción de un adicional raíz de $\eta$ con el valor apropiado en relación a $u$. A continuación, todos los parámetros geométricos necesarios para determinar el $l$ $K$ puede ser expresa y se construye en términos de este factor de escala $u$.

5) Ahora al meollo de la cuestión. Parece que tenemos que resolver un séptimo grado de la ecuación para que el parámetro $u$. Pero, "un milagro se produce" (los autores en sus propias palabras); la ecuación de $u$ es reducuble y todo lo que queda es cúbico factor de la ecuación (con coeficientes enteros), que puede ser resuelto por un auxiliar marcado la regla de construcción.

6) Lo $z=ux$ tiene una construcción con una marcada regla y el compás porque soluciona un sextic ecuación que satisface la rayando teorema, y $u$ tiene una construcción así porque se obtiene a partir de una ecuación cúbica en $Z[u]$; y por lo $x=2 cos(2\pi m/11)$ tiene uno también.

7) Ahora para los parámetros. Para $u$, elija la verdadera raíz de la $u^3+2u^2+2u+2=0$. Para la construcción de $z=ux$: $P=(0,0)$, $l$ es la línea de $x=-u-1$ cuando la unidad de longitud es la distancia entre las marcas (convencional en este tipo de construcción), $K$ es centeted en $(u(u-1)/2,-(u^2+3u+1)/2)$ y pasa a través de $(-u-2,0)$. Una orientación de la regla a lo largo de la $x$ eje, que es el "extra" de la raíz de la sextic; el otro raíces en $K$ con una adecuada distancia de los signos, ver (2), dar las raíces para $z$. Tenga en cuenta que los autores no se dan las fórmulas de esa manera, he hecho un poco de álgebra de mi cuenta para obtener todo en términos de $u$.