$\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ es un $\sigma$ -Álgebra $\iff$ $\mathcal{A}_1 \subseteq \mathcal{A}_2$

Question

Dado $\mathcal{A}_1$ y $\mathcal{A}_2$ dos $\sigma$ -sobre las álgebras $\Omega$ su unión $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ es un $\sigma$ -si $\mathcal{A}_1 \subseteq \mathcal{A}_2$ o $\mathcal{A}_2 \subseteq \mathcal{A}_1$

$\Longleftarrow$

Supongamos que $\mathcal{A}_1 \subseteq \mathcal{A}_2$

• $\Omega \in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$
• Dejemos que $A \in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ entonces $A \in \mathcal{A}_1$ o $A \in \mathcal{A}_2$ . En cualquier caso, $A^{c} \in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ desde $\mathcal{A}_1$ y $\mathcal{A}_2$ son $\sigma$ -algebras.
• Dejemos que $A_1, A_2, A_3,.... \in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ Entonces, para cada $k \in \mathbb{N}$ : $A_k \in \mathcal{A}_2$ o $A_k \in \mathcal{A}_1 \subseteq \mathcal{A}_2$ lo que implica que $A_k \in \mathcal{A}_2$ . Desde $\mathcal{A}_2$ es $\sigma$ -Álgebra, $\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in \mathcal{A}_2$ y por lo tanto $\in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$

$\Longrightarrow$

Intenté demostrarlo por medio de una contradicción.

• Supongamos que $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ es un $\sigma$ -de álgebra sobre $\Omega$ y que $\mathcal{A}_2 \nsubseteq \mathcal{A}_1$ Dejemos que $A_1 \in \mathcal{A}_1 \setminus \mathcal{A}_2$ y $A_2 \in \mathcal{A}_2 \setminus \mathcal{A}_1$ . Entonces $A_1, A_2 \in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ pero $A_1 \cup A_2 \notin \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ ya que su unión no está en $\mathcal{A}_1$ o $\mathcal{A}_2$ .

pero puede ser que haya algún conjunto en $\mathcal{A}_2$ o en $\mathcal{A}_1$ que al tomar $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ termina siendo igual a $A_1 \cup A_2$ por lo que es muy probable que este razonamiento sea erróneo. No estoy seguro de lo que sería correcto aquí.

Answer 1

Dejemos que $A_1\in\mathcal A_1\setminus\mathcal A_2$ y $A_2\in\mathcal A_2\setminus\mathcal A_1$ . Supongamos que $\mathcal A_1\cup\mathcal A_2$ es un $\sigma$ -Álgebra. Entonces toda combinación de $A_1$ y $A_2$ está contenida en $\mathcal A_1\cup\mathcal A_2$ y, por tanto, en uno de esos dos.

WLOG, supongamos que $A_1\cup A_2\in\mathcal A_1$ . Entonces $A_1\cap A_2\in\mathcal A_2$ ya que $A_2 = (A_1\cup A_2)\setminus(A_1\cap A_2)$ . Y como $A_1 = (A_1\setminus A_2)\cup(A_1\cap A_2)$ , usted tiene $A_1\setminus A_2\in\mathcal A_1$ . Pero entonces $$A_2 = (A_1\cup A_2)\setminus(A_1\setminus A_2)\in \mathcal A_1,$$ ¡una contradicción!

Answer 2

Supongamos que $A_1 \in \mathcal A_1 \backslash \mathcal A_2$ y $A_2 \in \mathcal A_2 \backslash \mathcal A_1$ . Entonces también $A_1^c \in \mathcal A_1 \backslash \mathcal A_2$ y $A_2^c \in \mathcal A_2 \backslash A_1$ .

$A_1 \cap A_2$ debe estar en al menos uno de $\mathcal A_1$ y $\mathcal A_2$ wlog suponga que está en $\mathcal A_1$ . Entonces $A_2 \backslash A_1$ no puede estar en $\mathcal A_1$ porque de lo contrario $A_2 = (A_1 \cap A_2) \cup (A_2 \backslash A_1)$ sería en $\mathcal A_1$ . Así que $A_2 \backslash A_1$ debe estar en $\mathcal A_2$ y luego $A_1 \cap A_2 = A_2 \backslash (A_2 \backslash A_1) \in \mathcal A_2$ . Así, $A_1 \cap A_2 \in \mathcal A_1 \cap \mathcal A_2$ .

Pero ahora considera $A_1^c \cap A_2^c$ . Esto no puede ser en $\mathcal A_1$ , si no $A_2^c = (A_1^c \cap A_2^c) \cup (A_1 \backslash (A_1 \cap A_2)) \in \mathcal A_1$ y no puede estar en $\mathcal A_2$ , si no $A_1^c = (A_1^c \cap A_2^c) \cup (A_2 \backslash A_1) \in \mathcal A_2$ . Así que tenemos una contradicción.