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A1A2 es un σ -Álgebra A1A2

Dado A1 y A2 dos σ -sobre las álgebras Ω su unión A1A2 es un σ -si A1A2 o A2A1

Supongamos que A1A2

  • ΩA1A2
  • Dejemos que AA1A2 entonces AA1 o AA2 . En cualquier caso, AcA1A2 desde A1 y A2 son σ -algebras.
  • Dejemos que A1,A2,A3,....A1A2 Entonces, para cada kN : AkA2 o AkA1A2 lo que implica que AkA2 . Desde A2 es σ -Álgebra, k=1AkA2 y por lo tanto A1A2

Intenté demostrarlo por medio de una contradicción.

  • Supongamos que A1A2 es un σ -de álgebra sobre Ω y que A2 Dejemos que A_1 \in \mathcal{A}_1 \setminus \mathcal{A}_2 y A_2 \in \mathcal{A}_2 \setminus \mathcal{A}_1 . Entonces A_1, A_2 \in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 pero A_1 \cup A_2 \notin \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 ya que su unión no está en \mathcal{A}_1 o \mathcal{A}_2 .

pero puede ser que haya algún conjunto en \mathcal{A}_2 o en \mathcal{A}_1 que al tomar \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 termina siendo igual a A_1 \cup A_2 por lo que es muy probable que este razonamiento sea erróneo. No estoy seguro de lo que sería correcto aquí.

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Observación: \impliedby sigue porque \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 es \mathcal{A}_1 o \mathcal{A}_2 , ambos de los cuales son \sigma -algunas.

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:-D sí, por supuesto.

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Sí, en general, \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 no es un \sigma -hay contraejemplos fáciles sobre conjuntos finitos. Pero si \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 es un \sigma -álgebra, no implica necesariamente que \mathcal{A}_1 \subseteq \mathcal{A}_2 ¿entonces la formulación del problema no es correcta?

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amsmath Puntos 178

Dejemos que A_1\in\mathcal A_1\setminus\mathcal A_2 y A_2\in\mathcal A_2\setminus\mathcal A_1 . Supongamos que \mathcal A_1\cup\mathcal A_2 es un \sigma -Álgebra. Entonces toda combinación de A_1 y A_2 está contenida en \mathcal A_1\cup\mathcal A_2 y, por tanto, en uno de esos dos.

WLOG, supongamos que A_1\cup A_2\in\mathcal A_1 . Entonces A_1\cap A_2\in\mathcal A_2 ya que A_2 = (A_1\cup A_2)\setminus(A_1\cap A_2) . Y como A_1 = (A_1\setminus A_2)\cup(A_1\cap A_2) , usted tiene A_1\setminus A_2\in\mathcal A_1 . Pero entonces A_2 = (A_1\cup A_2)\setminus(A_1\setminus A_2)\in \mathcal A_1, ¡una contradicción!

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Matthew Scouten Puntos 2518

Supongamos que A_1 \in \mathcal A_1 \backslash \mathcal A_2 y A_2 \in \mathcal A_2 \backslash \mathcal A_1 . Entonces también A_1^c \in \mathcal A_1 \backslash \mathcal A_2 y A_2^c \in \mathcal A_2 \backslash A_1 .

A_1 \cap A_2 debe estar en al menos uno de \mathcal A_1 y \mathcal A_2 wlog suponga que está en \mathcal A_1 . Entonces A_2 \backslash A_1 no puede estar en \mathcal A_1 porque de lo contrario A_2 = (A_1 \cap A_2) \cup (A_2 \backslash A_1) sería en \mathcal A_1 . Así que A_2 \backslash A_1 debe estar en \mathcal A_2 y luego A_1 \cap A_2 = A_2 \backslash (A_2 \backslash A_1) \in \mathcal A_2 . Así, A_1 \cap A_2 \in \mathcal A_1 \cap \mathcal A_2 .

Pero ahora considera A_1^c \cap A_2^c . Esto no puede ser en \mathcal A_1 , si no A_2^c = (A_1^c \cap A_2^c) \cup (A_1 \backslash (A_1 \cap A_2)) \in \mathcal A_1 y no puede estar en \mathcal A_2 , si no A_1^c = (A_1^c \cap A_2^c) \cup (A_2 \backslash A_1) \in \mathcal A_2 . Así que tenemos una contradicción.

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Gracias por su respuesta. Acepté la otra respuesta, porque podía seguirla más fácilmente, pero ¡gracias de nuevo! :)

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