Dado A1 y A2 dos σ -sobre las álgebras Ω su unión A1∪A2 es un σ -si A1⊆A2 o A2⊆A1
⟸
Supongamos que A1⊆A2
- Ω∈A1∪A2
- Dejemos que A∈A1∪A2 entonces A∈A1 o A∈A2 . En cualquier caso, Ac∈A1∪A2 desde A1 y A2 son σ -algebras.
- Dejemos que A1,A2,A3,....∈A1∪A2 Entonces, para cada k∈N : Ak∈A2 o Ak∈A1⊆A2 lo que implica que Ak∈A2 . Desde A2 es σ -Álgebra, ⋃∞k=1Ak∈A2 y por lo tanto ∈A1∪A2
⟹
Intenté demostrarlo por medio de una contradicción.
- Supongamos que A1∪A2 es un σ -de álgebra sobre Ω y que A2⊈ Dejemos que A_1 \in \mathcal{A}_1 \setminus \mathcal{A}_2 y A_2 \in \mathcal{A}_2 \setminus \mathcal{A}_1 . Entonces A_1, A_2 \in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 pero A_1 \cup A_2 \notin \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 ya que su unión no está en \mathcal{A}_1 o \mathcal{A}_2 .
pero puede ser que haya algún conjunto en \mathcal{A}_2 o en \mathcal{A}_1 que al tomar \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 termina siendo igual a A_1 \cup A_2 por lo que es muy probable que este razonamiento sea erróneo. No estoy seguro de lo que sería correcto aquí.
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Observación: \impliedby sigue porque \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 es \mathcal{A}_1 o \mathcal{A}_2 , ambos de los cuales son \sigma -algunas.
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:-D sí, por supuesto.
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Sí, en general, \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 no es un \sigma -hay contraejemplos fáciles sobre conjuntos finitos. Pero si \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 es un \sigma -álgebra, no implica necesariamente que \mathcal{A}_1 \subseteq \mathcal{A}_2 ¿entonces la formulación del problema no es correcta?
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Debería implicar que, o bien \mathcal A_1\subset\mathcal A_2 O \mathcal A_2\subset\mathcal A_1 .
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Nota: \mathcal{A}_2\not\subseteq \mathcal{A}_2 hace no implican que hay una A_1 en \mathcal{A}_1\setminus\mathcal{A}_2 . (Después de todo, podría haber \mathcal{A}_1 debidamente contenida en \mathcal{A}_2 ).