Encontrar piso de suma recíproca.

Question

Evaluación de

PS

Donde $$\bigg \lfloor \frac{1}{\sqrt[3]{1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt[3]{(1000)^2}}\bigg\rfloor$ es el piso de $\lfloor x\rfloor $

Intento: parece que podemos resolverlo utilizando sumas telescópicas y que la suma se encuentra entre $x$ sumas telescópicas, pero no se pudo averiguar cómo resolverlo.

¿Podría alguien ayudarme a resolverlo? Gracias.

Answer 1

Una aproximación es aproximar la suma con una integral y mostrar que el error está limitado por un número menor que 1.

En particular, deje que $$H_{1000}^{(2/3)} = \sum_{k=1}^{1000} k^{-2/3}, \quad I = \int_{x=1}^{1000} x^{-2/3} \, dx.$$ Then we know $$I \le H_{1000}^{(2/3)} < I+1.$$ But $ I = 27 $ , y hayamos terminado.

Answer 2

Puedes unir esta suma por dos integrales; $$\int_1^{1001} x^{-2/3}\mathrm{d}x\lt\sum_{k=1}^{1000}k^{-2/3}\lt1+\int_1^{1000}x^{-2/3}\mathrm{d}x$ $ Por lo tanto, tenemos $$27\lt3\sqrt[3]{1001}-3\lt\sum_{k=1}^{1000}k^{-2/3}\lt28$ $ Así que el valor de la suma está estrictamente entre $27$ y $28$ , el piso de la suma es $27$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $\displaystyle \sum_{k=1}^{1000}\frac{3}{\sqrt[3]{(k+1)^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{k^2}}<\sum_{k=1}^{1000}\frac{1}{\sqrt[3]{k^2}}<1+\sum_{k=2}^{1000}\frac{3}{\sqrt[3]{(k-1)^2}+\sqrt[3]{k(k-1)}+\sqrt[3]{k^2}}$ .

$\displaystyle \sum_{k=1}^{1000}\frac{3}{\sqrt[3]{(k+1)^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{k^2}}=\sum_{k=1}^{1000}\frac{3(\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k})}{(k+1)-k}=3(\sqrt[3]{1001}-1)>27$

$\displaystyle 1+\sum_{k=2}^{1000}\frac{3}{\sqrt[3]{(k-1)^2}+\sqrt[3]{k(k-1)}+\sqrt[3]{k^2}}=1+\sum_{k=2}^{1000}\frac{3(\sqrt[3]{k}-\sqrt[3]{k-1})}{(k-1)-k}=1+3(\sqrt[3]{1000}-1)=28$

Entonces, $\displaystyle \left\lfloor \sum_{k=1}^{1000}\frac{1}{\sqrt[3]{k^2}}\right\rfloor=27$ .