Mostrar que $x\sin\frac{1}{x}$ tiene una 'longitud' no acotada

Question

Este es el problema 16 del capítulo 23 de 'Cálculo-Spivak (3ra edición)'

Considera el siguiente conjunto que describe la 'longitud' $$\ell(f,P)=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(t_{i}-t_{i-1})^2+[f(t_i)-f(t_{i-1})]^2}$$ Donde $P=\{t_{1}<\dots es una partición del intervalo que se está 'midiendo'.

Sea $f(x)=x \cdot \sin( \frac{1}{x})$ para $0 < x \leq 1 $ y $f(0)=0$. Demuestra que $f$ tiene una 'longitud infinita' en $[0,1]$ mostrando la falta de límite de $\ell(f,P)$ considerando la partición $$P^*=\left\{ 0, \frac{2}{(2n+1)\pi},\dots,\frac{2}{5\pi},\frac{2}{3\pi},\frac{2}{\pi},1 \right\}$$

Mi intento:

Sin pérdida de generalidad podemos tomar $t_{i}$ y $t_{i-1}$ como los términos $\frac{2}{(2k+1)\pi}$ y $\frac{2}{(2k-1)\pi}$ para algún $k < n$ (por un momento ignorando el 0 y 1 de la partición) . Luego \begin{align*}f(t_{i})-f(t_{i-1}) &=t_{i} \sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{2}\right)-t_{i-1} \sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right) \\ &=t_{i}\sin\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)-t_{i-1}\sin\left(k\pi+\frac{\pi}{2}\right) \\ &=-t_{i}-t_{i-1} \quad \text{o} \quad t_{i}+t_{i-1} \end{align*}

Ahora define $b_{i}=\frac{2}{(2n-2i+1)\pi}$ para $i$ en $\{0,\dots,n\}$ y deja que $0 < A_{n}=\sqrt{(1-\frac{2}{\pi})^2+(\sin(1)-1)^2}+\sqrt{\left(\frac{2}{(2n+1)\pi}\right)^2+\left(\frac{2}{(2n+1)\pi}\right)^2}$

entonces podemos escribir \begin{align*} \ell\left(x\sin\frac{1}{x},P^*\right) &=A+\sum_{i=1}^{n+1}\sqrt{(b_{i}-b_{i-1})+[f(b_{i})-f(b_{i-1})]^2} \\ & \geq \sum_{i=1}^{n+1} \sqrt{(b_{i}-b_{i-1})^2+(b_{i}+b_{i-1})^2} \\ &= \sum_{i=1}^{n+1} \sqrt{2(b^2_{i}+b^2_{i-1})} \\ & \geq \sum_{i=0}^{n} b_i\end{align*} (De acuerdo con el resultado previo al cálculo).

Dado que $$\sum_{i=0}^{n} b_{i}=\sum_{i=0}^{n} \frac{2}{(2i+1)\pi} \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{12i}$$ Con la última suma divergiendo por la prueba de convergencia de la serie armónica, tenemos que el conjunto $\ell(f,P^*)$ es ilimitado y por lo tanto $f$ tiene una 'longitud infinita' $\blacksquare$

¿Es correcta mi demostración? ¿Hay algo que pueda hacer para que mi demostración se vea más coherente? (en el sentido de que parece estar un poco dispersa).

Answer 1

La prueba funciona.

Usar $(b_i-b_{i-1})^2+(b_i+b_{i-1})^2 = 2(b_i^2 + b_{i-1}^2)$ es innecesariamente inteligente, sin embargo, puedes obtener lo que necesitas simplemente descartando el primer término: $$ \sqrt{(b_i-b_{i-1})^2+(b_i+b_{i-1})^2} \ge \sqrt{(b_i+b_{i-1})^2} = b_i+b_{i-1} $$

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Como cuestión de estilo de escritura, creo que la frase "sin pérdida de generalidad" está fuera de lugar ahí. La partición no es algo que alguien te dé sobre lo que necesitas hacer suposiciones, para tu propósito puedes elegirla, y por lo tanto no hay generalidad de la que preocuparse por perder.