Algunos subcampos del anillo$\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2+1)$

Question

Consideremos el anillo de $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2+1)$.

El ideal de $(x,x^2+y^2+1)/(x^2+y^2+1)$ es máxima, ya que el modulo este ideal llegamos $\mathbb{R}[y]/(y^2+1)\cong \mathbb{C}$, un campo.

Por lo $\mathbb{C}$ es un cociente de campo del anillo de $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2+1)$.

Me preguntaba, si $\mathbb{C}$ puede ser incrustado en el anillo?

P. ¿hay inyectiva anillo homomorphism de $\mathbb{C}$ a $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2+1)$?

Answer 1

Como un $\mathbb R$-espacio vectorial sabemos que $\mathbb R[x,y]/(x^2+y^2+1)$ tiene base $x^m,x^ny$ para $m,n\geq0$. Así, cada elemento puede escribirse de forma única como $a+by$ con $a,b\in\mathbb R[x]$.

Ahora calcular $(a+by)^2+1=(a^2-b^2(1+x^2)+1)+2aby$. Si esta desaparece, entonces $ab=0$, lo $a=0$ o $b=0$. Desde el primer término también se desvanece, debemos tener bien $a^2+1=0$ o $b^2(1+x^2)=1$. Estas son ecuaciones en $\mathbb R[x]$, que no tienen soluciones. Por lo tanto no hay ningún elemento $x\in\mathbb R[x,y]/(x^2+y^2+1)$ satisfacción $x^2+1=0$, y por tanto, no homomorphism $\mathbb C\to\mathbb R[x,y]/(x^2+y^2+1)$.

Answer 2

Segundo intento: he Aquí una respuesta parcial mostrando que no hay $ℝ$-álgebra homomorphism $ℂ → ℝ[x,y]/(x^2 + y^2 + 1)$ al menos. Espero que esta sea la correcta ...

Deje $f = x^2 + y^2 + 1$ en $ℝ[x,y]$. Tenga en cuenta que $f$ es el primer en $ℝ[x,y]$ y en $ℂ[x,y]$ (como Eisenstein polinomio, por ejemplo). Si hubo un $ℝ$-álgebra homomorphism $ℂ → ℝ[x,y]/(f)$, entonces no sería un surjective $ℝ$-álgebra homomorphism $$α\colon ℂ[x,y]/(f) → ℝ[x,y]/(f)$$ con $α(x) = x$ e $α(y) = y$ que no es inyectiva:

• Para $h ∈ ℝ[x,y]$ con $α(i) = [h]_{(f)}$, tenemos $\deg h ≠ 0$ ( $α(i)$ sería real), por lo $h - i$ sería distinto de cero con $h - i ∈ \ker α$.

Desde $\dim ℂ[x,y] = 2$ e $\operatorname{height} (f) = 1$, el núcleo de $α$ sería máxima y, por tanto, por Hilbert Nullstellensatz, $α$ factor como un isomorfismo $ℂ → ℝ[x,y]/(f)$, pero $(f)$ no es máxima en $ℝ[x,y]$.