Como las otras dos respuestas mencionan, la respuesta es no, acoplamiento spin-órbita no puede ser derivada a partir de la ecuación de Pauli. Por qué? En un sentido se podría decir simplemente que el término ha sido descuidado en una aproximación ya hechos para llegar a la ecuación de Pauli. El punto de partida lo que usted necesita es la ecuación de Dirac.
A mis ojos, la forma más conveniente para encontrar el spin-órbita plazo es llevar a cabo la Foldy-Wouthuysen (FW) la transformación de la ecuación de Dirac, incluyendo una central de potencial de Coulomb. Mi favorito de referencia para este, aunque no es muy comúnmente utilizado, es el Capítulo 3.4-3.6 Brown & Carrington, Espectroscopía Rotacional de las Moléculas Diatómicas. Voy a aproximadamente reproducir su derivación aquí, pero he oído que un pdf de un libro que no es difícil de encontrar...
Comience con el Hamiltoniano de Dirac (en la antigua notación)
$${\mathcal H}= \beta m c^2 - e \phi + c \vec{\alpha} \cdot \vec{\pi}$$
$$ \equiv \beta m c^2 + V + O, $$
donde $\vec{\pi}=\vec{P} + e \vec{A}$ y los operadores de $V=-e \phi$ e $O=\vec{\alpha}\cdot \vec{\pi}$ son pares e impares con respecto a los "grandes" y "pequeñas" partes de la función de onda del electrón. La idea general de la Foldy-Wouthuysen transformación es elegir un operador unitario $e^{i {\mathcal S}}$ tal que cuando se aplica una transformación unitaria
$$ {\mathcal H}' = e^{i {\mathcal S}} {\mathcal H} e^{-i {\mathcal S}} + i \hbar (\partial_t \, e^{i {\mathcal S}} ) e^{-i {\mathcal S}},$$
el extraño partes de la transformada de Hamilton son reprimidas por los poderes de $c$. Resulta que esto es posible, y la elección correcta de ${\mathcal S}$ es
$$ {\mathcal S} = - \frac{i \beta O}{2 m c^2}. $$
Lo que ocurre es que de hecho tienes que aplicar el FW de transformación de dos veces en el fin de suprimir $O$ por dos poderes de $c$. Después de hacer esto, uno de los términos resultantes en las dos transformadas de Hamilton es
$$ \frac{1}{8 m^2 c^2} \left[ \vec{\alpha} \cdot \vec{\pi} , \left[ \vec{\alpha} \cdot \vec{\pi}, (-e \phi) \right] + i \hbar \partial_t (\vec{\alpha} \cdot \vec{\pi}) \right] $$
$$ = -\frac{e \hbar^2}{8 m^2 c^2} \nabla \cdot \vec{\mathcal E} - \frac{g_S \mu_B}{2 m c^2} \vec{S} \cdot (\vec{\mathcal E} \times \vec{\pi}), $$
donde $\vec{\mathcal E}=-\nabla \phi$ es el Coulomb campo eléctrico. El campo eléctrico $\vec{\mathcal E}$ puede ser sustituida por la explícita expresión de Coulomb $\sim Z e^2 \vec{r}/r^3$, y el numerador $\vec{r} \times \vec{p}$ es, precisamente, el momento angular orbital $\vec{L}$. Así pues, tenemos un término en el Hamiltoniano proporcional a $\vec{S} \cdot \vec{L}$, que es el acoplamiento spin-órbita. Ah, y por cierto, el primer término de arriba, creo que es el Darwin término proporcional a $\delta^3(\vec{r})$.
El Foldy-Wouthuysen transformación también puede ser usado para derivar la Pauli plazo $\sim \vec{\sigma} \cdot \vec{\mathcal B}$ y el conocido líder de la orden de corrección relativista de la energía cinética, proporcional a $p^4$. Para una partícula libre, también puede ser demostrado a cuenta del fenómeno de la zitterbewegung.
