El subgrupo normal de orden par cuyos elementos no triviales forman una sola clase de conjugación es abeliano

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y deje $N\trianglelefteq G$, $2\mid |N|$. Si el no-trivial elementos de $N$ formulario de una sola clase conjugacy de $G$, demuestran que, a $N$ es abelian.

Mi Intento

Traté de enfoque mediante el uso de la Órbita-Estabilizador teorema de la siguiente manera: vamos a $a\in N$ ser dado, por la Órbita-Estabilizador teorema (la acción que se $G$ que actúa sobre sí mismo por conjugación), tenemos $$|G| = |O_a||G_a|,$$ where $O_a, G_a$ are the orbit and stabilizer of $$, respectivamente.

Por supuesto, tenemos $|G| = (|N|-1)|G_a|$ y sabemos que $|N|-1$ es impar. Entonces estoy tratando de argumentar que $N\subseteq G_a$, lo que demostraría que la $N$ es abelian desde la elección de $a$ es arbitrario. Pero no podía hacer la conexión.

Además, este enfoque puede estar totalmente equivocado. Pero en el momento en que yo no podía ver ninguna otra posible manera de probar esto.

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Bueno, en realidad, por Cauchy teorema de, $N$ tiene un elemento de orden $2$. Por conjugacy de ello se sigue que cada nonidentity elemento es de orden $2$. Es muy común el ejercicio que estoy seguro que usted ha hecho para demostrar que si cada nonidentity elemento de un grupo es de orden $2$, el grupo abelian. Esto no requiere la hipótesis de que el subgrupo es normal.