Mostrar convergencia uniforme y convergencia puntual para$\sum_{n=1}^ \infty \frac{z^ {n-1}}{(1-z^n)(1-z^ {n+1})}$

Question

Considerar la serie: $$\sum_{n=1}^ \infty \frac{z^ {n-1}}{(1-z^n)(1-z^ {n+1})}$$ mostrar esta converge a:

(a) $\frac{1}{(1-z)^2}$ para $|z|<1$

(b) $\frac{1}{z(1-z)^2}$ para $|z|>1$

Finalmente, muestran que esta convergencia es uniforme para $|z| \leq c <1$ en (a) y para $|z| \geq c >1$ en (b).

Este es mi primer curso en análisis complejo y estoy luchando un poco con ver por qué esto es cierto. Pregunta (a) se propone reconocer el producto de dos series geométricas $$\frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-z}= \sum z^ k \cdot \sum z^ k $$ Pero no veo cómo volver a escribir la expresión. No tengo idea de cómo se derivan de la expresión en cuestión $(b)$ consejos sobre que sería muy apreciada. Una vez que sabes cómo obtener estas expresiones quizás también conocer una manera de aplicar el M de Weierstrass-test para la convergencia uniforme. Desde el límite uniforme debe ser igual a la pointwise límite de todo lo que necesitamos para demostrar que la serie converge uniformemente en algunos dominio de definición. Alguien puede proporcionar algunas orientaciones sobre cómo abordar esta pregunta, la caída de algunos pequeños consejos así que tal vez puede proceder?

Answer 1

El uso parcial de la fracción de descomposición y explotar una telescópica suma para obtener el pointwise convergencia de los resultados en (a) y (b). Por ejemplo, tenemos

$$\frac{z^{n-1}}{(1-z^n)(1-z^{n+1})} = \frac{z^{n-1}}{z^n - z^{n+1}}\left(\frac{1}{1-z^n} - \frac{1}{1-z^{n+1}} \right) \\ = \frac{1}{z(1-z)}\left(\frac{1}{1-z^n} - \frac{1}{1-z^{n+1}} \right)$$

Voy a dejar el resto de los detalles para usted. La técnica se ilustra con más detalle a continuación en el argumento para la convergencia uniforme.

Respecto a la convergencia uniforme, tenga en cuenta que

$$\begin{align}\left|\frac{z^{n-1}}{(1-z^n)(1-z^{n+1})} \right| = \frac{|z|^{n-1}}{|1-z^n||1-z^{n+1}|} \leqslant \frac{|z|^{n-1}}{(1-|z|^n)(1-|z|^{n+1})} \end{align}$$

donde la última desigualdad se sigue de la aplicación de la inversa de la desigualdad del triángulo, $|1 - z^m| \geqslant 1 - |z|^m$, para las expresiones en el denominador.

Si $|z| \leqslant c < 1$, luego tenemos

$$\tag{*}\left|\frac{z^{n-1}}{(1-z^n)(1-z^{n+1})} \right| \leqslant \frac{c^{n-1}}{(1- c^n)(1- c^{n+1})} = \frac{c^{n-1}}{c^n -c^{n+1}} \left(\frac{1}{1-c^n}-\frac{1}{1 - c^{n+1}}\right) \\ = \frac{1}{c(1-c)} \left(\frac{1}{1-c^n}-\frac{1}{1 - c^{n+1}}\right)$$

La serie con términos que aparecen en el lado derecho de (*) es telescópica y convergente

$$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{1-c^n}-\frac{1}{1 - c^{n+1}}\right)= \lim_{m \to \infty}\sum_{n=1}^m \left(\frac{1}{1-c^n}-\frac{1}{1 - c^{n+1}}\right) = \frac{1}{1-c} - \lim_{m\to \infty}\frac{1}{1 - c^{m+1}} \\ = \frac{1}{1-c}-1$$

Por lo tanto, hemos convergencia uniforme para $|z| \leqslant c < 1$, por la de Weierstrass de la prueba.

Para el caso de que $|z| \geqslant c > 1$, reorganizar como

$$\left|\frac{z^{n-1}}{(1-z^n)(1-z^{n+1})} \right| = \frac{|z|^{-(n+2)}}{|1 - z ^{-n}||1- z^{-(n+1)}|} \leqslant \frac{|z|^{-(n+2)}}{(1 - |z |^{-n})(1- |z|^{-(n+1)})}, $$

y proceder de una manera similar a como antes de aplicar la prueba de Weierstrass.