¿Valor mínimo de$4$ - número de dígitos dividido por la suma de sus dígitos?

Question

Si x era un número positivo de 4 dígitos y lo divides por la suma de sus dígitos para obtener el valor más pequeño posible, ¿cuál es el valor de x? Por ejemplo (1234 = 1234/10)

Obtuve 1099 como respuesta, sin embargo, no sé si esto es correcto o cómo probarlo.

Answer 1

Deje $x$ ser el número de 4 dígitos que termina en el dígito no es igual a 9, con la suma de los dígitos igual a $s$. Si aumenta el último dígito por uno, el número se convierte en el $x+1$ y la suma de los dígitos se vuelve $s+1$.

Se puede demostrar fácilmente que:

$$\frac xs>\frac{x+1}{s+1}$$

Esto es cierto porque las $x>s$. Así que para reducir la tasa medida de lo posible, el último dígito tiene que ser tan grande como sea posible, que es $9$.

Ahora, considere el número de $x$ con el tercer dígito no eqaul a 9. Aumentar el tercer dígito por uno y el número se convierte en el $x+10$ y la suma se incrementa en 1. De nuevo, usted puede demostrar que:

$$\frac xs>\frac{x+10}{s+1}$$

Esto es cierto porque las $x>10s$. Así que el tercer dígito también tiene que ser tan grande como sibe. Así que los dos últimos dígitos debe ser igual a 9.

Considere ahora el primer dígito y luego disminuir por uno. El número se convierte en el $x-1000$ y la suma se convierte en $s-1$.

$$\frac xs>\frac{x-1000}{s-1}$$

Esto es cierto porque esto es equivalente a:

$$x<1000s$$

...y usted sabe que $s$ es ciertamente superior a los 18 años (los dos últimos dígitos debe ser de 9). Así que el primer dígito debe ser tan pequeño como sea posible, es decir, 1 y el número es de la forma:

$$1a99$$

La relación que desea minimizar el ahora se convierte en:

$$\frac{100a+1099}{a+19}=100-\frac{801}{a+19}$$

Valor mínimo se alcanza para el mínimo valor de $a$ que es 0. Así que la solución es: 1099.

Answer 2

La respuesta 1099 es confirmada por el siguiente modelo MiniZinc :

 %  decision variable array
array[1..4] of var 0..9: digits;

var int: objective = sum([digits[i] * pow(10, i-1) | i in 1..4]) div sum(digits);

constraint digits[4] > 0; % otherwise, there would be less than 4 digits

solve minimize objective;
 

Answer 3

Escribir la $4$-dígitos de número de $x = 1000a+100b+10c+d$, donde $a,b,c,d$ son enteros de $0$ a $9$ (e $a \neq 0$.)

Desea minimizar $A = \dfrac{1000a+100b+10c+d}{a+b+c+d}$, que puede ser escrito como $$ \begin{align*} A &= \dfrac{999a+99b+9c}{a+b+c+d}+1\\ &\geq \dfrac{999a+99b+9c}{a+b+c+9} + 1 & \text{(since the numerator} > 0\text{, set } d = 9)\\ &= \dfrac{990a+90b-81}{a+b+c+9} + 10\\ &\geq \dfrac{990a+90b-81}{a+b+9+9} + 10 & \text{(since the numerator} > 0\text{, set } c = 9)\\ &= \dfrac{900a-18\times90-81}{a+b+9+9} + 100\\ &= \dfrac{900a-1701}{a+b+18} + 100\\ &\geq \dfrac{900\times 1-1701}{1+b+18} + 100 & \text{(since the } \textbf{denominator} > 0\text{, set } a = 1)\\ &\geq \dfrac{900-1701}{1+0+18} + 100, & \text{(since the numerator} < 0\text{, set } b = 0)\\ \end{align*} $$ y el mínimo que se alcanza cuando se $x = 1099$.

Answer 4

Utilicé Python para demostrar que el valor más corto posible es '1099'.

 m = []

for eve in range(1000, 10000):

    nums = list(map(int, list(str(eve))))
    m.append((nums, eve / sum(nums)))

m.sort(key=lambda x: x[1])

print(m[0])