Funciones continuas con órbita del periodo$3$

Question

Me gustaría construir algunas funciones continuas$f : E \to \Bbb R$ (donde$E \subset \Bbb R$ es un intervalo), de modo que $$ \ existe x \ en E, \; \; [f (x) ≠ x ≠ f (f (x)), \; \; f ^ 3 (x): = f (f (f (x))) = x] $$

Intenté$f(x)=ax+b$ y$x_0=1$ y obtuve la condición$a^3+a^2b+ab+b=1$ que lleva a$b=1-a$, por lo que$f(1)=a\cdot 1 + (1-a)=1$ y$x_0=1$ es un punto fijo. de ser del periodo$3$.

(Mi objetivo es probar el teorema de Sharkvosky en algunos ejemplos).

¡Gracias!

Answer 1

Sólo tiene que tirar de algunos valores de la función de un sombrero, por ejemplo $$ f(0) = 42 \qquad f(42)=117 \qquad f(117)=0 $$ y, a continuación, hacer la interpolación de Lagrange (o para el caso de la interpolación lineal, lo que flota su barco) entre esos puntos.

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Su intento de primer grado del polinomio fallado porque de primer grado del polinomio repetirse tres veces es todavía una de primer grado del polinomio, y por lo $f^3(x)=x$ puede tener sólo una raíz. Desde la raíz de $f(x)=x$ también es una raíz de $f^3(x)=x$, no habrá espacio para cualquier otro .

Pero tan pronto como usted se mueve a polinomios cuadráticos habrá un montón de oportunidades. (Interpolación de Lagrange entre tres puntos dados siempre resulta en un polinomio de grado $\le 2$).

Answer 2

$1-2\left|x-\frac12\right|$ tiene el$2/7,4/7,6/7$ de tres ciclos. Este ejemplo proviene del artículo "El teorema de Sharkovsky: una prueba directa natural", de Keith Burns y Boris Hasselblatt. Una impresión previa está disponible gratuitamente en línea, y es una gran lectura.