Significado de "strong" y "weak" (fórmulas?) en lógica proposicional

Question

Estaba revisando la lógica proposicional del libro de Enderton. En una sección (página 26 de la 2da edición), explica la idea de que dadas las fórmulas bien formadas $\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_k$ y $\tau$, se pueden usar tablas de verdad para verificar si $\{ \sigma_1, \cdots, \sigma_k \} \models \tau$. Luego da algunos ejemplos de cómo uno podría, de manera educada, evitar verificar todas las combinaciones de asignaciones de las variables proposicionales utilizadas en las sigmas y en $\tau$. Esta parte parece estar bien para mí.

Pero luego Enderton dice "Cuanto más fuerte sea el antecedente (la expresión en el lado izquierdo), más débil será el condicional". Luego da los ejemplos \begin{align} (P \wedge Q) &\models P \\ (P \rightarrow R) &\models ((P \wedge Q) \rightarrow R) \\ (((P \wedge Q) \rightarrow R) \rightarrow S) &\models ((P \rightarrow R) \rightarrow S) \end{align} ¿Qué quiere decir con esto? ¿Cuál antecedente es más fuerte, el primero o el tercero? Quizás una pregunta para empezar es: ¿qué significan "fuerte" y "débil" en este contexto? ¡Gracias por cualquier ayuda/aclaración!

Sinceramente,

Vien

Answer 1

"Fortaleza" aquí significa "fortaleza de demostrabilidad". Es un término algo suelto, pero la idea es la siguiente. Supongamos que $A,B,C$ son todas oraciones, y $A \vDash B$ (y supongamos $B \not\vDash A$). En este caso, diríamos "$A$ es más fuerte que $B", es decir, "$A$ puede al menos demostrar todo lo que $B$ puede, y más."

Pregunta 1: ¿Qué crees que sería la fuerza relativa de $\neg A$ y $\neg B$? Esperanzadamente, no es demasiado difícil ver que, al añadir negaciones, se invierten las fuerzas relativas; así que ahora $\neg B \vDash \neg A$, es decir, "$\neg B$ es más fuerte que $\neg A$."

Pregunta 2: ¿Qué crees que sería la fuerza relativa de $A \vee C$ y $B \vee C$, donde $C$ es simplemente alguna nueva oración? Bueno, esto es un poco complicado, ya que $C$ podría ser una tautología, pero si todo lo demás es igual, si $A$ es más fuerte que $B$, entonces $A \vee C$ es al menos tan fuerte como $B \vee C$.

Combina estos dos juntos: Si $A$ es más fuerte que $B$, entonces $\neg B$ es más fuerte que $\neg A$. Pero entonces $\neg B \vee C$ es más fuerte que $\neg A \vee C", es decir, $B \rightarrow C$ es más fuerte que $A \rightarrow C", dado la definición de "$\rightarrow$. Insertando la oración apropiada para $A,B,C$ arriba, esperanzadamente los comentarios de Enderton son un poco más claros.

Esa es la respuesta formal a tu pregunta. Quizás, a un nivel intuitivo, considera lo siguiente: Deja que $A$ sea "Está lloviendo" y deja que $B$ sea "Está lloviendo mucho". En este caso, $B$ es estrictamente más fuerte que $A": $A$ se sigue de $B$ pero no vice versa. Pero ahora considera los condicionales, "Si está lloviendo, traeré un paraguas" y "Si está lloviendo mucho, traeré un paraguas." Intuitivamente, el segundo parece estar afirmando algo más débil. Es decir, el segundo condicional es consistente con que esté lloviendo y yo no traiga un paraguas (quizás solo esté lloviendo levemente); pero el primer condicional no lo es (aunque esté lloviendo ligeramente, traeré un paraguas).

Answer 2

Supongo que "$\sigma$ es más fuerte que $\tau$" o "$\tau$ es más débil que $\sigma$" significa que $\sigma\models\tau$ pero $\tau\not\models\sigma".

Primera línea: $(P\wedge Q)$ es más fuerte que $P$.

Segunda línea: El condicional $((P\wedge Q)\rightarrow R)$ es más débil que el condicional $(P\rightarrow R)$ porque el antecedente $(P\wedge Q)$ es más fuerte que $P$.

La tercera línea sigue de la segunda de la misma manera que la segunda línea sigue de la primera.