Demuestre que tres segmentos en un hexágono convexo se intersecan en un punto

Question

Deje $ABCDEF$ ser hexágono convexo tal que $\angle ABC=\angle BCD=\angle DEF=\angle EFA$$|AB|+|DE| =|AF|+|CD|$.

Demostrar que la línea $l_{AD}$ y las mediatrices de los lados $\overline{BC}$ $\overline{EF}$ se cruzan en algún punto.

Este es el diagrama:

Como usted puede ver, yo prolongada segmentos de $\overline{CD}$ $\overline{AB}$ a se cortan en $X$ y, del mismo modo, $\overline{DE}$ $\overline{AF}$ a se cortan en $Y$. Entonces, como $\angle ABC=\angle BCD$, tenemos que el triángulo $\triangle BXC$ es equilaterial y la mediatriz del lado de la $\overline{BC}$ es de hecho la bisectriz del ángulo $\angle BXC$, y, del mismo modo, la mediatriz de $\overline{FE}$ biseca $\angle EYF$.

Pero ¿y ahora qué? Cualquier sugerencias?

Answer 1

Deje $P$ $Q$ puntos $\overline{AB}$$\overline{AF}$, respectivamente, de tal manera que $|BP| = |CD|$$|FQ|=|ED|$. Por el segmento de longitud condición, tenemos $$|AP| = |AB| -\color{blue}{|PB|} = |AB|- \color{blue}{|CD|} = |AF| - \color{red}{|DE|} = |AF| -\color{red}{|FQ|} = |AQ| \tag{1}$$

Por otra parte, $\square PBCD$ $\square QFED$ son trapecios isósceles congruentes con "base superior" ángulos, y por lo tanto también congruente "inferior" de los ángulos, de modo que $\angle APD \cong \angle AQD$. Es importante destacar que estos dos últimos ángulos que no son agudos. (Por qué?)

Por SSnaA (lado-Lado-no-Ángulo agudo), $\triangle APD \cong \triangle AQD$. Podemos deducir, entonces, que las mediatrices en cuestión de acuerdo a lo largo de $\overleftrightarrow{AD}$ simplemente porque los trapezoides son mutuos reflexiones a través de esa línea. $\square$

Answer 2

Permítanme escribir otra solución. El uso de su imagen, $XC=XB$$EY=FY$. De ello se sigue que $$AX+DY=BX+AB+ED+EY=CX+AF+CD+FY=AY+DX,$$ therefore quadrilateral $AXDY$ is circumscribed. Let $I$ be the center of the circle inscribed in $AXDY$.

Tenga en cuenta que las mediatrices de $BC$ $EF$ son bisectrices de los ángulos de $BXC$$EYF$. Esto es porque los triángulos $BXC$ $EYF$ son isósceles. Por lo tanto sólo tenemos que demostrar que $I$ se encuentra en $AD$.

Deje $\alpha$ ser el valor común de los ángulos $ABC, BCD, DEF, EFA$. El ángulo interno de $AID$ en el pentágono $AIDEF$ es igual a $$540^\circ - \angle IDE - \angle DEF - \angle EFA - \angle FAI = 540^\circ - \frac 12 \angle CDE - 2\alpha - \frac 12 \angle FAB. $$ Del mismo modo , el ángulo interno de $DIA$ en el pentágono $DIABC$ es igual a $$540^\circ - \angle IAB - \angle ABC - \angle BCD - \angle CDI = 540^\circ - \frac 12 \angle FAB - 2 \alpha - \frac 12 \angle CDE.$$ De ello se deduce que estos dos ángulos son iguales. Por otro lado, se suman a $360^\circ$, lo $\angle AID = 180^\circ$. Por lo tanto, $I$ se encuentra en $AD$.