La diferencia entre el interior y el exterior.

Question

Si me parametrizar $\mathbb{R}^n$ con generalizada coordenadas polares $(r, \Theta)$ es posible partición de $\mathbb{R}^n$ en tres partes

$$A = \{x \in \mathbb{R}^n \mid r < 1\}$$ $$B = \{x \in \mathbb{R}^n \mid r = 1\}$$ $$C = \{x \in \mathbb{R}^n \mid r > 1\}$$

$A$ es el interior y $C$ es el exterior, de una esfera dada por $B$. Se puede definir una función de los mapas de la mayoría de los de fuera para dentro, por ejemplo:

$$f: C\to A$$ $$f(r,\Theta) = (1/r, \Theta)$$

Esta función funciona en casi todas partes, excepto donde $x\in A$ es el origen. Parecería imposible definir un bijective función de que los mapas de $A$ $C$y de que usted siempre tiene un único punto que es problemático. Básicamente, $C$ tiene un agujero y $A$ no. Mi pregunta es, es la presencia de este único punto en general se considera la base sobre la cual dentro y por fuera son diferentes?

Del mismo modo, si queremos añadir un punto en el infinito a $\mathbb{R}^n$, ¿cómo afecta esto a la noción de dentro y fuera, hay todavía una diferencia?

Answer 1

Sí. A menudo, cuando usted mira el complemento de un incrustados esfera, no sólo el estándar de la incrustación $r=1$ en tu pregunta, los dos componentes se conocen como "el delimitada componente" y "la componente no acotada." La componente no acotada se pueden distinguir topológicamente por el hecho de que no es compacto.

Cuando se agrega un punto en $\infty$, los dos componentes son homeomórficos, así que no hay distinción. De hecho, para el $r=1$ ámbito, los dos componentes corresponden a la parte superior e inferior del hemisferio de $S^3$ por debajo de la proyección estereográfica.