Prueba de comparación de límite para series alternas

Question

Estoy tratando de entender por qué la prueba de compras límite no funciona para series alternas, ¿es cierto? ¿O hay un ejemplo de contador? No puedo encontrar uno ¿Puedes ayudarme por favor?

Gracias. benny

Answer 1

El límite de la prueba de comparación funciona porque si $a_n$ $b_n$ son positivas, entonces, si la relación de $a_n/b_n$ oscila en torno a su límite, estas fluctuaciones afectan $a_n$ $b_n$ en la hilera y no cambian sistemáticamente la convergencia en el comportamiento de uno pero no el otro. Ese no es el caso si $a_n$ $b_n$ alternativo. Usted puede ver esto en la siguiente contraejemplo: Vamos a

$$\frac{a_n}{b_n}=1+\frac{(-1)^n}{n^p}$$

con $p>0$. Entonces

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\;,$$

y el límite de la prueba de comparación diría que la serie de cualquiera de los dos convergen o ambas no. Consideremos ahora

$$b_n=\frac{(-1)^n}{n^q}\;$$

con $q>0$. La correspondiente serie converge por la alternancia de la serie de prueba. Pero, a continuación,

$$ \begin{eqnarray} a_n&=&\frac{(-1)^n}{n^q}\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right)\\ &=&\frac{(-1)^n}{n^q}+\frac{1}{n^{p+q}}\;, \end{eqnarray} $$

y el correspondiente de la serie diverge para $p+q\le1$. Usted puede ver cómo las fluctuaciones alrededor del límite de la relación de "interferir constructivamente" a dejar la serie para $a_n$ divergen; esto no podría ocurrir si $a_n$ $b_n$ fueron siempre positivos.

Answer 2

Generalmente, el Límite de la Prueba de Comparación se expresa de la siguiente manera:

Límite De La Prueba De Comparación. Deje $\sum a_n$ $\sum b_n$ ser dos series de términos positivos. Si $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$$ existe y es positiva, tanto en $\sum a_n$ $\sum b_n$ convergen o ambas divergen.

De hecho, se puede extender un poco para incluir los dos casos siguientes:

• Si $\lim\frac{a_n}{b_n} = 0$ $\sum b_n$ converge, entonces $\sum a_n$ converge.
• Si $\lim\frac{a_n}{b_n} =\infty$ $\sum b_n$ diverge, entonces $\sum a_n$ diverge.

La prueba ampliada, en cualquier caso, se produce un error si se intenta comparar la alternancia de serie con el positivo de la serie. Tomemos, por ejemplo,$\sum\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$$\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$. La primera de la serie diverge ($p$de la serie a con $p\lt 1$), y la segunda converge (alterna de la serie, y los términos que se vaya a cero y la disminución en valor absoluto). Sin embargo, $$\lim_{n\to\infty}\frac{\quad\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\quad}{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{(-1)^n\sqrt[4]{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[4]{n}}{(-1)^n} = 0.$$ Si la prueba ampliada trabajado aquí, entonces usted tendría que concluir, ya que la secuencia de $\sum b_n = \sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge, que la serie $\sum a_n = \sum\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$ también converge, que no es así.

Qué sobre la prueba regular, la cual requiere que el límite existe y es finito? Si tratamos de comparar una corriente alterna de la serie con una serie de términos positivos, entonces no podemos tener un límite que es a la vez positivo y existe (en los términos de la alternativa entre positivo y negativo, de modo que si el límite existe tiene que ser cero). Por lo que tendría que involucrar la comparación de dos alterna de la serie, y mientras escribo esto veo joriki ha publicado un ejemplo, así que voy a dejar aquí.