¿Por qué$R$ - Mod es una categoría pequeña? ¿Hay una manera de reconocer pequeñas categorías? Por ejemplo, Grp (es decir, la categoría de todos los grupos) es grande porque cada conjunto puede equiparse con una estructura de grupo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Xenph Yan
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Para cualquier anillo de $R$, la categoría de $R$-Mod no es una categoría pequeña: para cualquier conjunto $S$ uno puede formar el $R$-módulo de $R^{S}=\{f:S\to R\}$, e $R^S\neq R^T$ para cualquiera de los dos conjuntos distintos $S\neq T$ (aunque, por supuesto, pueden ser isomorfos), por lo que hay "al menos como muchos de $R$-módulos como conjuntos", y así la colección de todos los $R$-módulos es una clase adecuada.
En mi experiencia con las categorías hasta ahora, nunca he encontrado una situación en la que no estaba claro desde el principio (es decir, usando lo que ya sabemos acerca de lo que los objetos de nuestra categoría son) si una categoría era pequeña, si es grande, o si no hace la diferencia para la discusión en la mano.
