Tengo que demostrar que
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2 +y^2}}=0$$
Y ya he encontrado algunas preguntas con la misma pregunta, pero supongo que procedió en una forma un poco distinta.
El límite si existe para cada una de las $\epsilon>0$, $\delta>0$ tal que
$$\left|\cfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} -L\right|<\epsilon$$
Y $|x-a|<\delta,|x-a|<\delta$ o $|(x,y)-(a,b)|<\delta$$x\neq a, y \neq b $.
He hecho un poco experimental enfoque y quisiera hablar de ello. Aprendí que se puede intentar acercarse al límite con algunos de los caminos: coordenadas polares, líneas, etc. Así que le doy un tiro: Como el límite va a $(0,0)$, parecía natural para tratar: $x \to \frac{1}{m} $$m \to \infty $, e $y\to \frac{1}{n}$$n\to \infty$, esto me da:
$$\left|\cfrac{1}{\sqrt{m^2+n^2}}\right|<\epsilon$$
$$\left|\frac{1}{m}\right |<\delta \quad \quad \left|\frac{1}{n}\right|<\delta $$
Y con esto, creo que podemos ver que podemos acercarnos a $0$ arbitrariamente. Pero si tomamos la otra forma:
$$\left|\sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}}\right|<\delta$$
$$\left|\sqrt{\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}}\right|<\delta$$
$$\left|\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{ mn} \right|<\delta$$
Pero ahora parece que no podemos tener un $\delta$ por cada $\epsilon$ elegido. Así que, ¿cómo pueden ser equivalentes? Me puede faltar algo. También, una pregunta importante:
P: me enteré de las definiciones con $\epsilon, \delta$ y la idea de buscar un posible límite por algunos de los caminos como formas diferentes: La primera parece ser usados para probar que hay un límite, pero el segundo parece ser un barato método para recopilar la evidencia de que no podría ser (si el valor es diferente para los dos caminos, entonces el límite no existe), pero en el ejemplo de arriba, he fusionado los dos. Es esto generalmente viable o no incurrir en el mismo problema de no tener el mismo valor para las distintas rutas implica la no existencia del límite?
También tuve el (incompleta?) la idea de tratar de llegar al límite con un círculo $a^2+b^2=c^2$ y tomar el límite de$c\to 0$, pero estoy un poco confundido si se podía hacer.
$$\left|\frac{\sqrt{c^2-a^2} \sqrt{c^2-b^2}}{\sqrt{-a^2-b^2+2 c^2}}-0\right|<\epsilon$$
$$\left|\frac{\sqrt{c^2-a^2} \sqrt{c^2-b^2}}{\sqrt{-a^2-b^2+ c^2+c^2}}\right|<\epsilon\tag{$c^2-a^2-c^2=0$}$$
$$\left|\frac{\sqrt{c^2-a^2} \sqrt{c^2-b^2}}{c}\right|<\epsilon$$
Como $b^2=c^2-a^2$$a^2=c^2-b^2$, entonces:
$$\left|\frac{ba}{c}\right|<\epsilon$$
Como $c\to 0$, creo que podemos hacer la sustitución $c:= \frac{1}{n}$$n\to \infty$, entonces:
$$\left|abn\right|<\epsilon$$
Y aquí, como $n\to \infty $, $c\to 0$ y debido a $a^2+b^2=c^2$,$a,b\to 0$. Como para el $\delta$, entonces:
$$\left|\left( \sqrt{c^2-a^2},\sqrt{c^2-b^2} \right) -(0,0)\right|<\delta$$
$$\left| \left( \sqrt{c^2-a^2+c^2-b^2 }\right)\right|<\delta\tag{$c^2-a^2-c^2=0$}$$
$$|c|<\delta$$
Son estos movimientos aceptable? Si no, ¿sabes al menos un contraejemplo? Me gustaría ver por qué no funciona - si no funciona.
