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Probando$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2 +y^2}}=0$ de una manera extraña: ¿Tiene sentido?

Tengo que demostrar que

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2 +y^2}}=0$$

Y ya he encontrado algunas preguntas con la misma pregunta, pero supongo que procedió en una forma un poco distinta.


El límite si existe para cada una de las $\epsilon>0$, $\delta>0$ tal que

$$\left|\cfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} -L\right|<\epsilon$$

Y $|x-a|<\delta,|x-a|<\delta$ o $|(x,y)-(a,b)|<\delta$$x\neq a, y \neq b $.

He hecho un poco experimental enfoque y quisiera hablar de ello. Aprendí que se puede intentar acercarse al límite con algunos de los caminos: coordenadas polares, líneas, etc. Así que le doy un tiro: Como el límite va a $(0,0)$, parecía natural para tratar: $x \to \frac{1}{m} $$m \to \infty $, e $y\to \frac{1}{n}$$n\to \infty$, esto me da:

$$\left|\cfrac{1}{\sqrt{m^2+n^2}}\right|<\epsilon$$

$$\left|\frac{1}{m}\right |<\delta \quad \quad \left|\frac{1}{n}\right|<\delta $$

Y con esto, creo que podemos ver que podemos acercarnos a $0$ arbitrariamente. Pero si tomamos la otra forma:

$$\left|\sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}}\right|<\delta$$

$$\left|\sqrt{\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}}\right|<\delta$$

$$\left|\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{ mn} \right|<\delta$$

Pero ahora parece que no podemos tener un $\delta$ por cada $\epsilon$ elegido. Así que, ¿cómo pueden ser equivalentes? Me puede faltar algo. También, una pregunta importante:

P: me enteré de las definiciones con $\epsilon, \delta$ y la idea de buscar un posible límite por algunos de los caminos como formas diferentes: La primera parece ser usados para probar que hay un límite, pero el segundo parece ser un barato método para recopilar la evidencia de que no podría ser (si el valor es diferente para los dos caminos, entonces el límite no existe), pero en el ejemplo de arriba, he fusionado los dos. Es esto generalmente viable o no incurrir en el mismo problema de no tener el mismo valor para las distintas rutas implica la no existencia del límite?


También tuve el (incompleta?) la idea de tratar de llegar al límite con un círculo $a^2+b^2=c^2$ y tomar el límite de$c\to 0$, pero estoy un poco confundido si se podía hacer.

$$\left|\frac{\sqrt{c^2-a^2} \sqrt{c^2-b^2}}{\sqrt{-a^2-b^2+2 c^2}}-0\right|<\epsilon$$

$$\left|\frac{\sqrt{c^2-a^2} \sqrt{c^2-b^2}}{\sqrt{-a^2-b^2+ c^2+c^2}}\right|<\epsilon\tag{$c^2-a^2-c^2=0$}$$

$$\left|\frac{\sqrt{c^2-a^2} \sqrt{c^2-b^2}}{c}\right|<\epsilon$$

Como $b^2=c^2-a^2$$a^2=c^2-b^2$, entonces:

$$\left|\frac{ba}{c}\right|<\epsilon$$

Como $c\to 0$, creo que podemos hacer la sustitución $c:= \frac{1}{n}$$n\to \infty$, entonces:

$$\left|abn\right|<\epsilon$$

Y aquí, como $n\to \infty $, $c\to 0$ y debido a $a^2+b^2=c^2$,$a,b\to 0$. Como para el $\delta$, entonces:

$$\left|\left( \sqrt{c^2-a^2},\sqrt{c^2-b^2} \right) -(0,0)\right|<\delta$$

$$\left| \left( \sqrt{c^2-a^2+c^2-b^2 }\right)\right|<\delta\tag{$c^2-a^2-c^2=0$}$$

$$|c|<\delta$$

Son estos movimientos aceptable? Si no, ¿sabes al menos un contraejemplo? Me gustaría ver por qué no funciona - si no funciona.

2voto

Faraad Armwood Puntos 118

Leeré su solución con cuidado, pero por algo que creo que es muy rápido, cambie a coordenadas polares.

PS

Edit: Sí, estoy siendo un poco descuidado aquí. Tal como está escrito, parece que estoy suponiendo que$$\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \sin \theta \cos \theta}{r} = 0$ es una constante fija, pero puede ser una función de$\theta$.

PS

para algunos positivos$r$.

1voto

Mr.T Puntos 786

Voy a citar aquí la definición del límite de una 2-la función de variable: $$\forall \epsilon>0(\exists\delta(\|(x-a,y-b)\|\leq\delta\implies\|f(x,y)-L\|)\leq\epsilon)$$ es decir, para todos los reales positivos valor de $\epsilon$, existe un círculo de radio de $\delta$) dentro de la cual la el valor de la función no está más lejos de $L$$\epsilon$. Por lo tanto, no importa cómo, por qué curva) que se aproxima al punto $(a,b)$, una vez entras en el círculo, que son los menos-que-$\epsilon$-cerca de las $L$. Por eso, para demostrar que el límite no existe, usted sólo tiene que encontrar un camino para que la condición no se cumple. Para demostrar que el límite no existe el uso de la ruta de enfoque, usted tendría que demostrar que para todos los caminos llegan a $(a,b)$, se cumple con la condición. No podemos hacer esto mediante la consideración de todos los caminos, ya que sólo la clasificación de estas rutas es bastante complicada.

Me gustaría añadir a Faraad Armwood la respuesta el hecho de que $\sin\theta\cos\theta$ es un almacén de función.

1voto

Quang Hoang Puntos 8066

Su solución es esencialmente equivalente a la de Faraad, donde$c$ desempeña los roles de$r$.

Puesto que usted está jugando con$\epsilon$ y$\delta$, es necesario demostrar que para cualquier determinado% $\epsilon$, hay un$\delta$ en lo que$|f(x,y)-L|<\epsilon$ cada vez$c<\delta$. En otras palabras, debe mostrar cómo se relacionan$\epsilon$ y$\delta$, lo que falta en su solución. Esto también se menciona en la respuesta del Sr. T.

En resumen, su solución funciona cuando elige (¿agregar?)$\delta = \epsilon$. Es decir,$$\left|\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|=\left|\frac{ab}{c}\right| \le |c| \le \epsilon,$ $ cuando$|c|\le \epsilon$.

1voto

zhw. Puntos 16255

Por la desigualdad GM-AM,

PS

Entonces, en valor absoluto, la expresión de interés está delimitada arriba por$$|xy|\le (x^2+y^2)/2 \le x^2+y^2.$ Dado que$\sqrt {x^2+y^2}.$ el límite deseado es$\sqrt {x^2+y^2} \to 0,$

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