Demuestre que:$f$ es un polinomio de grado$\le m$.

Question

Tengo un problema:

Supongamos que$f \in \mathcal{H}(U,F)=\left \{ f: U \to F,~ \text{f is holomorphic mapping} \right \}$.

Donde$E,F$ son dos espacios complejos de Banach,$U$ es un conjunto abierto en$E$.

Suponemos que$\exists m \in \mathbb{N}_0=\{0,1, \ldots\}$ y$c>0$ tal que$$\left \|f(x) \right \| \le c (\left \| x \right \|^m+1),~ \forall x \in E$ $.

Demuestre que:$f$ es un polinomio de grado$\le m$.

Ps: necesito tu ayuda. Gracias.

Answer 1

Pensé que había cometido algunos errores aquí.

No necesitamos el paso 1, solo tenemos que mostrar el paso 2 como prueba. Lo que significa:

Ya que $||a_n||=||\dfrac{1}{2\pi i} \int_{| \zeta|=r} \dfrac{f(a+\zeta t) \mathrm{d} \zeta}{\zeta^{n+1}} ||$

$\le \dfrac{1}{2 \pi} \int_{|\zeta|=r} \dfrac{||f(a+ \zeta t)|| \cdot | \mathrm{d}\zeta |}{| \zeta |^{n+1}}$

$=\dfrac{1}{2 \pi} (2 \pi r)\dfrac{C(|\zeta|^{m}+1)}{|\zeta|^{n+1}}$

$=\dfrac{C(r^{m+1}+r)}{r^{n+1}}$,$|\zeta|=r$,$\forall n>m, \mathrm{C}>0$.

$=\dfrac{\mathrm{C}}{r^{n-m}}+\dfrac{\mathrm{C}}{r^{n}}$

Deja que$r \to +\infty$ obtenga$||a_n||=\|P^m f(a)(t)\|\le \left(\dfrac{\mathrm{C}}{r^{n-m}}+\dfrac{\mathrm{C}}{r^{n}} \right) \underset{r \to \infty}{\longrightarrow} 0$.

Por lo tanto, $a_n=0,~~~ \forall n>m$.

¿Crees eso? Patricio. :)

Answer 2

Muchas gracias! Patrick.

Con Patricio sugerencias, voy a reescribir de la siguiente manera:

Nos muestran que $a_n=0$$n>m$.

En primer lugar, nos muestran que: $||f(x)|| \le \mathrm{C}||x||^m$.

$||x||^m+1 \le 2||x\||^m,~~ \forall ||x|| \ge 1$

Por lo tanto, $\implies ||f(x)|| \le 2C||x||^m=\mathrm{C}||x||^m$

Paso 2: vamos a tener que conseguir el obligado $\||f(x)\|| \le \dfrac{ \mathrm{C}}{r^{n-m}}$,$ \forall n>m$.

Desde $||a_n||=||\dfrac{1}{2\pi i} \int_{| \zeta|=r} \dfrac{f(a+\zeta t) \mathrm{d} \zeta}{\zeta^{n+1}} ||$

$\le \dfrac{1}{2 \pi} \int_{|\zeta|=r} \dfrac{||f(a+ \zeta t)|| \cdot | \mathrm{d}\zeta |}{| \zeta |^{n+1}}$

$=\dfrac{1}{2 \pi} (2 \pi)\dfrac{C(|\zeta|^{m+1}+1)}{|\zeta|^{n+1}}$

$=\dfrac{C(|\zeta|^{m+1}+1)}{|\zeta|^{n+1}}$

$=\dfrac{C(|r|^{m+1}+1)}{r^{n+1}}$

$\le \dfrac{\mathrm{C}}{r^{n-m}}$

Deje $r \to +\infty$ que tendré $||a_n||=\|P^m f(a)(t)\|\le \dfrac{\mathrm{C}}{r^{n-m}} \underset{r \to \infty}{\longrightarrow} 0$.

Por lo tanto, $a_n=0$,$n>m$.

Esto significa $f$ es un polinomio de grado $\le m$. :P

*. Estoy tratando de en caso de que:

Si $||x|| \le 1$$||f(x)|| \le 2c=\mathrm{C}$. Esto significa $m=0$

$\implies||a_n|| \le \dfrac{\mathrm{C}}{r}$.

¿Es lo correcto? Patrick.

Me pueden ayudar? Gracias. Probar que: $\sup_{z \in \overline{D}} |f(z)|=\sup_{z \in \Gamma} |f(z)|$