Quiero mostrar que un conjunto $B\subset L$ es la máxima solucionable subalgebra.
Con $L = \mathscr{o}(8,F)$, $F$ y algebraicamente cerrado de campo, y $\operatorname{char}(F)=0$ y
$$B= \left\{\begin{pmatrix}p&q\\0&s \end{pmatrix}\mid p \textrm{ upper triangular, }q,s\in\mathscr{gl}(4,F)\textrm{ and }p^t=-s, q^t=-q\right\}.$$
$B$ es una subalgebra de construcción. Así que mi problema ahora es cómo puedo demostrar que es la máxima posible solución.
He probado el enfoque por '$L$ solucionable $\Leftrightarrow$ $[L,L]$ nilpotent'. No estoy seguro de lo bueno que esta idea es, pero aquí lo tengo:
$[B,B]= span\{[x,y]\mid x,y\in B\}$. Por lo $x$ $y$ son matrices de la forma anterior.
Que significa, que para el '$p$-parte' podemos ver ya que es nilpotent. Ya que con cada multiplicación no es uno más cero diagonal.
Pero, ¿cómo puedo mostrar ahora, que también vamos a deshacerse de la $q$ $s$ parte?
Traté de mirar a $[x,y] = xy-yx = \begin{pmatrix}\bigtriangledown&*\\0&ss' \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\bigtriangledown&*\\ 0&s's \end{pmatrix}$
(con $\bigtriangledown$ cualquier triángulo superior de la matriz menos una diagonal, $s$ la parte en la $x$ matriz y $s'$ $y$ de la matriz). (Lo siento por el caos de la notación. Yo no realmente saben cómo escribir sea más fácil..)
Es este un principio donde debo ir? O ¿alguien tiene una idea de cómo enfocar este problema?
Yo no sé realmente, de cómo pasar de aquí en más. Para que yo sea muy feliz para cualquier sugerencia :)
Mejor, Luca
