Diferentes definiciones de nivel de conjunto de puntos de espectros.

Question

He estado tratando de entender el Adams espectral de la secuencia y uno de los más accesibles las fuentes es el (inacabado) libro sobre espectral de las secuencias de Hatcher. La costumbre (¿único?) la construcción de la forma del espectro de la secuencia de los usos de los espectros y así en el libro se puede encontrar una muy breve introducción a la teoría.

Hatcher define un espectro a ser una secuencia de basepointed espacios de $E_{n}$ junto con la conexión de los mapas de $\sigma _{n}: \Sigma E_{n} \rightarrow E_{n+1}$ y parece que, de hecho, esta es la definición más común. Como yo lo entiendo, esto conduce a la noción de derecho de los objetos, pero la noción de derecho de morfismos entre los espectros es más sutil. Para evitar esto, se introduce la más estricta CW-espectros que son secuencias de CW-complejos con la conexión de los mapas de inclusiones de subcomplejos. Como Frank Adams muestra en su obra clásica "Estable homotopy y generalizado de la homología', este enfoque - junto con ligeramente modificada de la noción de morfismos y homotopy de morfismos - lleva a un buen comportamiento estable homotopy categoría.

Sin embargo, por ejemplo en "Un breve Curso de Topología Algebraica", por encima de la noción de espectro se degradó a una prespectrum y uno podría esperar que, de nuevo, los espectros son un poco más especiales. Esto puede ser visto en el papel de "Moderno Bases para la estabilidad de Homotopy Teoría" (por Elmendorf, Kriz, Mandell, Mayo), donde - aunque en una forma distinta -, los autores definen una prespectrum $E_{n}$ a ser un espectro si los mapas adjuntos $E_{n} \rightarrow \Omega E_{n+1}$ son homemorphisms. Por supuesto, hay mucho más en el papel, ya que están tratando de obtener una categoría de espectros con razonable smash producto, pero ya al principio de esta homeomorphism condición de que me desconcierta, porque parece muy fuerte. Yo tampoco sé cuál es la correcta noción de un "mapa" en este escenario ya que el papel se vuelve más exigente, muy rápidamente, pero uno puede esperar algo de la estructura del modelo a jugar un papel?

Cuál de estos enfoques a un punto de la definición de conjunto de espectros son la mayoría de los bien establecidos? ¿Cuáles son sus ventajas y desventajas?

(Ahora mismo estoy más preocupados con el "aditivo" propiedades de los espectros, es decir. Ya sé que hay más métodos cuando uno intenta construir una categoría de espectros con un gran producto y este no es realmente el punto principal de mi pregunta.)

Answer 1

Un montón de cosas emocionantes que se han hecho con los fundamentos de los espectros en los últimos 20 años, pero no está muy claro por dónde empezar cuando usted está aprendiendo el tema.

Para fijar la notación, vamos a llamar a la secuencia de los espacios y la estructura de los mapas de $\Sigma E_n \rightarrow E_{n+1}$ un prespectrum. Un mapa de prespectra $E \rightarrow F$ es sólo una secuencia de mapas de $E_n \rightarrow F_n$ que conmuta con la estructura de los mapas. Nada más elegante que eso. De esta forma se define la categoría de prespectra. Un mapa de prespectra es una $\pi_*$-isomorfismo si se induce isomorphisms en todos los estable homotopy grupos.

Por último, desde la categoría descrita por Adams tiene diferentes objetos y diferentes morfismos que el que he descrito anteriormente, vamos a darle un nombre diferente: la estable homotopy categoría.

Como usted sugiere en su comentario anterior, si se toma la categoría de prespectra y se localizan en la clase de $\pi_*$-isomorphisms, se obtiene (hasta equivalencia) la estable homotopy categoría. Incluso mejor, usted puede poner un modelo de estructura en la categoría de prespectra cuyos débiles de las equivalencias son las $\pi_*$-isomorphisms, y el asociado homotopy categoría también es equivalente a la estable homotopy categoría. Creo que este fue su primer trabajo en un papel de Bousfield y Friedlander, pero usted puede encontrar un bonito modernas de tratamiento en el papel Categorías de Modelo de Diagrama de Espectros (Mandell, Mayo, Schwede, Shipley), que también se extiende a simétrica/ortogonal espectros. Si no recuerdo mal, cuando se trabaja con estricto $\Omega$-espectros, en lugar de restringir a una clase de "CW espectros" y, a continuación, tomar honesto homotopy clases de mapas entre ellos para recuperar el establo homotopy categoría. Ver Equivariant Estable Homotopy Teoría (Lewis, Mayo, Steinberger) para más detalles. (También es una buena precuela EKMM.)

En cuanto a tu pregunta principal, hay muchos modelos bien establecidos para los espectros: prespectra, coordinar libre de $\Omega$-espectros, simétrica espectros, ortogonal espectros, $\Gamma$-espacios... he encontrado la categoría de prespectra con el Bousfield-Friedlander modelo de estructura para ser un excelente punto de partida. Aquí hay tres razones para centrarse en esa categoría:

• Las definiciones son simples, por lo que es fácil de conseguir sus manos sucias.
• Usted puede hacer casi cualquier cosa que no requiera de smashing espectros juntos o de formación de la asignación de los espectros.
• La mayoría de los otros modelos tienen un subyacente prespectrum por el abandono de la estructura, por lo que al pasar a un modelo diferente que se pueden construir sobre lo que ya sabes.

Intente aprender las definiciones, y luego resulta que homotopy cofiber secuencias y homtopy de fibra de secuencias coinciden. (Sugerencia: comience por demostrar que cofiber y fibra de secuencias tanto el rendimiento a largo exacto de secuencias de estable homotopy grupos). Una vez que usted ha construido algunos intuición allí, usted puede ser atraído hacia el simétrico/ortogonal de los espectros, ya que sus definiciones son bastante simples. O usted puede ser atraído hacia el $\Omega$-espectros, que tienen buenas propiedades formales y que se aprovecha de una obra clásica sobre la geometría de bucle infinito de los espacios. En cualquier caso, creo que usted encontrará que el tiempo dedicado a la comprensión de prespectra no se desperdicia cuando se mueva a modelos más sofisticados.