Demuestre que existe un número positivo x tal que $ x^3= 5$

Question

Demostrar que existe un número positivo $x$ tal que $ x^3= 5$

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Defina $S=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0,x^3<5\}$ .

Establecer $S$ no está vacío porque $1\in S$ y está acotado por encima porque $2^3=8>5>x^3,\forall x\in S$ por el axioma de completitud, $S$ tiene un límite superior mínimo, $b$ .

Considere que si $b^3>5$ podemos elegir una pequeña $\epsilon=(b^3-5)/(3b^2+3))$ tal que $b-\epsilon<b$ entonces podemos tener $$(b-\epsilon)^3=b^3-3b^2\epsilon+3b\epsilon^2-\epsilon^3>b^3-3b^2\epsilon-3\epsilon^3>b^3-3b^2\epsilon-3\epsilon=5\tag 1$$

Así que $(b-\epsilon)^3>5>x^3,\forall x\in S$ que contradice $b$ es el límite superior mínimo.

Ahora considere que $b^3<5$ entonces podemos elegir un $\epsilon=(5-b^3)/(3b^2+3b+1)$ tal que $b+r>b$ . Entonces tenemos $$(b+r)^3=b^3+3b^2\epsilon+3b\epsilon^2+\epsilon^3<b^3+3b^2\epsilon+3b\epsilon+\epsilon=5 \tag 2$$

Esto demuestra $b$ está en $S$ que contradice $b$ es un límite superior. Por lo tanto, por el axioma de positividad, $b^3=5$ .

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Estoy siguiendo la dirección proporcionada por el libro, pero no soy muy bueno en la inequidad, así que no estoy seguro. $(1)$ y $(2)$ correcta o no. Si no es así, ¿alguien me puede dar un golpe o sugerencia para hacer $(1)$ y $(2)$ ¿correcto? Gracias de antemano.

Answer 1

La primera parte de tu prueba tiene buena pinta. Buena elección de $\varepsilon.$ Eso establece que $S$ tiene un límite superior mínimo $b$ y $(1)$ muestra que $b \leq 5$ .

Hay algunos baches en la segunda mitad, pero sin duda va por el buen camino. En primer lugar, para ser pedante, parece que utilizó $r$ en dos ocasiones en lugar de $\varepsilon$ . No hay problema. El verdadero problema está en tu razonamiento sobre $b$ . Tenga en cuenta que $b$ sigue actuando como el límite superior mínimo para $S$ y es perfectamente correcto que el límite mínimo superior de un conjunto sea un elemento del propio conjunto. Por ejemplo, consideremos el intervalo unitario cerrado $[0,1]$ . Su límite superior mínimo es $1$ miembro de $[0,1]$ .

Dicho esto, $(2)$ se ejecutó de forma excelente y sigue completando la prueba. El razonamiento es que $(2)$ revela un número $b+\varepsilon \in \Bbb{R}$ tal que $b^3<(b+\varepsilon)^3<5$ . Por lo tanto $b+\varepsilon \in S$ así que la contradicción es que has encontrado un elemento en $S$ mayor que el límite superior mínimo de $S$ .

P.D. Haces grandes preguntas. Completa con $\LaTeX$ , un resumen claro de lo que has probado hasta ahora y respondes a las aportaciones de otros usuarios de MSE. ¡Seguid así!