Integración compleja$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 t}{3+\cos t}dt$

Question

Estoy tratando de evaluar la integral$$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 t}{3+\cos t}dt usando números complejos.

Es decir, en lugar de calcular $$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 t}{3+\cos t}dt,$$ I want to calculate the integral $$\int_\Gamma \frac{\sin^2 z}{3+\cos z}dz$$ where $\ Gamma$ is half the circle with center at origin and radius $\ pi$ (in the positive direction), and then the straight line on the $x$ axis from $- \ pi$ to $\ pi$.

Sabemos que esta integral es$0$ porque $$\frac{\sin^2 z}{3+\cos z}$$ is analytic in the entire area bounded by $\ Gamma$. So that's not an issue, but to evaluate our original integral, we need to now calculate $$\int_\gamma \frac{\sin^2 z}{3+\cos z}dz$$ where $\ gamma$ is just the upper half of the circle I mentioned above. Without the line that goes from $- \ pi$ to $\ pi$ on the $x$ axis.

¿Cómo calculo esta integral?

Edición: una buena parametrización podría ser$z=\pi e^{i\theta}$ donde$0 \leq \theta \leq \pi$. Y luego tenemos que calcular la integral$$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 (\pi e^{i \theta})}{3+\cos (\pi e^{i\theta})}i\pi e^{i\theta} d\theta. No parece fácil de hacer.

Answer 1

Al establecer$z=e^{it}$, tenemos$dz=i e^{it} dt$, así que$dt=-\frac{i}{z}dz$ y:

$$ I = \int_{-\pi}^{+\pi}\frac{\sin^2 t}{3+\cos t}\,dt = -i\oint \frac{\left(\frac{z-1/z}{2i}\right)^2}{z\left(3+\frac{z+1/z}{2}\right)}\,dz=i\oint\frac{(1-z^2)^2}{z^2(1+6z+z^2)}\,dz donde el camino de la integración es el círculo unitario. La función integrand$f(z)=\frac{(1-z^2)^2}{z^2(1+6z+z^2)}$ tiene dos polos dentro del disco de la unidad, en$z=0$ y$z=-3+\sqrt{8}$. La última integral se puede calcular aplicando el teorema de residuos:

PS