Dejemos que $C$ sea una categoría. Considere $Psh(C)$ la categoría de presheaves en $C$ . Es un hecho bien conocido que el functor de evaluación en $c$ un objeto de $C$ de presheaves preserva tanto los límites como los colímites pero no puedo encontrar en la literatura ni calcular los adyacentes a la derecha y a la izquierda. Si alguien conoce una fórmula para ambos contiguos sería de gran ayuda.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El adjunto izquierdo $L_c$ a la evaluación en $c$ es muy simple; los adjuntos de la izquierda preservan los colímetros y cada conjunto es un coproducto de $1$ con ella misma. En consecuencia,
$$ L_c(X) = X \cdot L_c(1)$$
donde $\cdot$ significa tomar el $X$ -combinación doble de $L_c(1)$ con ella misma. Finalmente,
$$ \mathbf{PSh}(\mathcal{C})(L_c(1), F) \cong \mathbf{Set}(1, F(c)) \cong F(c) $$
por lo tanto, $L_c(1)$ es el functor $\mathcal{C}(-, c)$ representado por $c$ . Es decir,
$$ L_c(X) = X \cdot \mathcal{C}(-, c) $$
El adjunto derecho $R_c$ es aún más sencillo:
$$ R_c(X)(d) \cong \mathbf{PSh}(\mathcal{C})(\mathcal{C}(-, d), R_c(X)) \cong \mathbf{Set}(\mathcal{C}(c, d), X) \cong X^{\mathcal{C}(c,d)}$$
Eso es,
$$ R_c(X) \cong X^{\mathcal{C}(c, -)}$$
(gracias a Andreas Blass por recordarme el argumento)
El functor de evaluación-at-c $F \to F(c)$ está, por cierto, dado por el functor
$$ \mathbf{Set}^{\mathcal{C}^\circ} \to \mathbf{Set}^1 $$
inducido por la inclusión $1 \to \mathcal{C}^{\circ}$ que identifica $c$ por lo que ambos adjuntos son casos especiales del hecho de que este functor tiene adjuntos. No recuerdo cómo funciona esto en la parte superior de mi cabeza, pero probablemente debería ser más fácil de encontrar una referencia para.
Andreas Blass
Puntos
33024
Hurkyl ha calculado el adjunto izquierdo. Aquí hay una forma de obtener el adjunto derecho $R_c$ . Para cualquier conjunto $X$ y cualquier objeto $u$ de $\mathcal C$ el valor de la preforma $R(X)$ en el objeto $u$ es (hasta el isomorfismo natural en ambos $X$ y $u$ ) dado por $\mathbf{PSh}(\mathcal C(-,u),R(X))$ por el lema de Yoneda. Esto, a su vez, es naturalmente isomorfo a $\mathbf{Set}(\text{eval}_c(\mathcal C(-,u)),X)$ por contigüidad, y esto es sólo $\mathbf{Set}(\mathcal C(c,u),X)$ es decir, $X^{\mathcal C(c,u)}$ .
AlanSE
Puntos
183
Mac Lane tiene un buen tratamiento de las extensiones de Kan en $CWM$ . A continuación se presenta una sinopsis para la extensión del Kan derecho:
categorías dadas $A,M$ y $C$ el functor $K:M\to C$ induce un functor $A^{K}:A^{C}\to A^{M}$ definido por $A^KS=SK$ y $A^K(\sigma:S\overset{\cdot }{\rightarrow}S')=\sigma K:SK\overset{\cdot }{\rightarrow}S'K.$
En esta situación, una extensión de Kan derecho es sólo un adjunto derecho a $A^K:$
dado $T:M\to A,\ $ Ran $_TK$ satisfará $\mathcal {Nat}[S,$ Ran $_KT] \cong \mathcal {Nat}[SK,T].$
En su problema, usted tiene $M=1, C=C, A=\bf{Set}$ y $K:1 \to C$ que induce el functor eval: $\bf{Set}^{C} \to \bf{Set}^1$ .
La recompensa de todo esto es que, con un poco de trabajo, se puede exhibir Ran $_KT$ como límite puntual por lo que estos problemas se convierten en computacionales. Los detalles se encuentran en CWM (2ª edición) en la página 234.
Resultados similares son válidos para la extensión del Kan izquierdo.
