¿Cómo se relaciona el valor esperado con la media, la mediana, etc. en una distribución no normal?

Question

¿Cómo se relaciona el valor esperado de una variable aleatoria continua con su media aritmética, mediana, etc. en una distribución no normal (p. Ej., Sesgo normal)? Estoy interesado en cualquier distribución común / interesante (por ejemplo, log-normal, distribuciones bi / multimodales simples, cualquier otra cosa rara y maravillosa).

Busco principalmente respuestas cualitativas, pero cualquier respuesta cuantitativa o formulada también es bienvenida. Particularmente me gustaría ver cualquier representación visual que lo haga más claro.

Answer 1

(parcialmente convertidos de mi ahora-eliminado el comentario anterior)

El valor esperado y la media aritmética son exactamente la misma cosa. La mediana es relativa a la media en un no-trivial manera, pero usted puede decir un par de cosas acerca de su relación:

• cuando una distribución es simétrica, la media y la mediana son iguales

• cuando es una distribución negativamente sesgada, la mediana es generalmente mayor que la media

• cuando es una distribución positivamente sesgada, la mediana es generalmente menor que la media

Answer 2

Hay una buena relación entre la armónica, geométrica y la media aritmética de un registro-normalmente distribuida variable aleatoria $X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$. Vamos

• $\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$ (media armónica),
• $\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ (media geométrica),
• $\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ (media aritmética).

No es difícil ver que el producto de la armónica y la media aritmética de los rendimientos al cuadrado de la media geométrica, es decir,

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

Ya que todos los valores son positivos, podemos tomar el squre raíz y encuentra que la media geométrica de $X$ es la media geométrica de la media armónica de $X$ y la media aritmética de $X$, es decir,

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

Además, el conocido HM-GM-AM desigualdad

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

puede ser expresado como

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

donde $\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$ es el geométrica de la varianza.

Answer 3

Para completar, también hay distribuciones para las cuales la media no está bien definida. Un ejemplo clásico es la distribución de Cauchy ( esta respuesta tiene una buena explicación de por qué). Otro ejemplo importante es la distribución de la ley de potencia con exponente mayor que 2.