Operador invertible

Question

Sea $K:V\to W$ tal que $Kf = k$ donde $V,W$ son espacios de Banach de dimensión infinita. ¿Es correcto decir que en general $f = (K^*K)^{-1}k$ Sin embargo, cuando $V=W$ entonces $f = K^{-1}k$ . $T^*$ denota aquí el operador adjunto. En otras palabras, si $V\ne W$ no podemos hablar de $K^{-1}$ . Sólo intento establecer un paralelismo con $K$ siendo una matriz de valor real.

Answer 1

Los operadores inversos son un poco más abstractos de lo que uno puede pensar a primera vista. La notación y la facilidad para definir los inversos a partir del álgebra lineal son engañosas. En realidad, el operador inverso (cuando está bien definido) toma $w\in W$ y da $v\in V$ con la condición añadida de que $Kv = w$ . Este es la definición del operador inverso. Qué es el operador mira como realmente depende del contexto. Por ejemplo, el operador inverso de un operador diferencial es una función de Green que no se puede representar en términos de la propia EDP de la forma que sugieres. Podrías, de hecho, definir una inversa para una transformación lineal de $V$ à $W$ si $\dim(W) < \dim(V)$ pero tendrías que hacer algunas especificaciones sobre los tipos de salida que puedes tener porque el sistema está infradeterminado. Creo que la forma en que se enseña el álgebra lineal a nivel introductorio es un poco perjudicial. La notación y la falta de claridad hacen que el análisis funcional sea mucho más difícil de lo necesario.