¿Cómo puede una estructura diferencial suave ocultar una discontinuidad?

Question

Un teorema de la topología diferencial afirma que cualquier $C^1$ admite un colector compatible $C^{\infty}$ estructura diferencial. Esto me parece curioso debido a que hay colectores como el gráfico de $f(x) = x|x|$ que es $C^1$ pero tiene una discontinuidad en su segunda derivada.

Pregunta : ¿Cómo la estructura suave compatible en el gráfico anterior "oculta" la discontinuidad?

Una respuesta cualitativa está bien.

Answer 1

Creo que una mejor manera de pensar en ello es que un $C^1$ El colector no "conoce" ninguna discontinuidad en las derivadas superiores que pueda tener. No se puede definir la segunda derivada de una función en una $C^1$ múltiple, por lo que ni siquiera se puede expresar la idea de que dicha derivada sería discontinua intrínsecamente.

Llamemos a su ejemplo $X$ . Tenga en cuenta que el mapa de proyección $p:X\to\mathbb{R}$ enviando $(x,x|x|)$ a $x$ es un $C^1$ difeomorfismo. Así que en realidad, $X$ es exactamente lo mismo que $\mathbb{R}$ como $C^1$ de los colectores. El $C^1$ estructura múltiple de $X$ no puede decir que tiene una "torcedura" en $(0,0)$ : en lo que respecta a la $C^1$ estructura se refiere, $X$ también podría ser $\mathbb{R}$ sin ninguna torcedura.

La única razón por la que crees que tu $X$ tiene un pliegue es porque te lo estás imaginando sentado dentro $\mathbb{R}^2$ y, de hecho, el mapa $X\to \mathbb{R}^2$ no es un $C^2$ incrustación. Pero esta incrustación no forma parte del $C^1$ estructura múltiple de $X$ . El $C^\infty$ estructura que se puede poner $X$ no "esconde" la singularidad de $X$ como un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ ; es que el mapa $X\to\mathbb{R}^2$ no es un $C^\infty$ incrustación.