Actualización 7:35 UTC 3/23/14: he vuelto a publicar este quesion en MathOverflow aquí.
Como una tarea en mi clase de álgebra conmutativa, tengo que probar el de Mayer-Vietoris secuencia de local cohomology:
Deje $R$ ser un Noetherian anillo, $I,J$ $R$-ideales, y $M$ $R$- módulo. Mostrar que hay una larga secuencia exacta $$ \cdots \rightarrow H^i_{I+J}(M)\rightarrow H^i_I(M)\oplus H^i_J(M) \rightarrow H^i_{I\cap J}(M) \rightarrow H^{i+1}_{I+J}(M)\rightarrow\cdots. $$
He bajado para probar los siguientes:
Deje $R$ ser un Noetherian anillo, $I,J$ $R$-ideales, y $M$ $R$- módulo tal que $\Gamma_{I\cap J}(M)=M$. A continuación,$M=\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)$.
Sin embargo, en el intento de probar esto, me terminó de "probar" que $M/(\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M))\cong (\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M))/\Gamma_I(M)$, que sin duda es falso en general--- - - si esto fuera cierto, entonces (suponiendo que hemos mostrado $M=\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)$)$J=0$, obtendríamos $\Gamma_I(M)=M$ para cada ideal $I$ y cada una de las $R$-módulo de $M$, lo cual es claramente falso.
Pregunta: ¿de Dónde me salen mal?
Aquí está mi "prueba" de la incorrecta "hecho":
Considere la secuencia exacta corta $$ 0 \to \frac{\Gamma_I(M)}{\Gamma_I(M)\cap \Gamma_J(M)} \to \frac{M}{\Gamma_J(M)}\to \frac{M}{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)}\to 0.\tag{1}$$ Observe que si $x\in M$, por lo que el $(I\cap J)^n x=0$ algunos $x\geq 0$,$I^n(J^n x)\subseteq (IJ)^nx\subseteq (I\cap J)^n x=0$; por lo tanto, $J^nx \subseteq \Gamma_I(M)\subseteq \Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)$. Por lo tanto, $$ \Gamma_J\left(\frac{M}{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)}\right) = \frac{M}{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)} \tag{2},$$ y así (por la anterior tarea set) $$ H^i_J\left(\frac{M}{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)}\right) = 0 \quad \text{for all}\quad i>0 \tag{3}.$$ También por una previa tarea de conjunto, $$ \Gamma_J\left(\frac{M}{\Gamma_J(M)}\right)=0. \tag{4}$$ Por lo tanto, la aplicación de la larga secuencia exacta de $H_J$ a (1), y usando (2), (3) y (4), obtenemos una secuencia exacta $$0\to \frac{M}{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)} \to H^1_J\left(\frac{\Gamma_I(M)}{\Gamma_I(M)\cap \Gamma_J(M)}\right) \to H^1_J\left(\frac{M}{\Gamma_J(M)}\right)\to 0. $$ Por lo tanto, $$ \frac{M}{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)} \cong \ker \left[H^1_J\left(\frac{\Gamma_I(M)}{\Gamma_I(M)\cap \Gamma_J(M)}\right) \to H^1_J\left(\frac{M}{\Gamma_J(M)}\right)\right].\tag{5}$$
Ahora, desde la $\Gamma_I(M)\cap \Gamma_J(M)=\Gamma_J(\Gamma_I(M))$, obtenemos $$ \frac{\Gamma_I(M)}{\Gamma_I(M)\cap \Gamma_J(M)} = \frac{\Gamma_I(M)}{\Gamma_J(\Gamma_I(M))}.$$ A partir de una previa asignación de tarea, si $N$ cualquier $R$-módulo, $R$ es Noetherian, y $J$ $R$- ideal, entonces para $i>0$, el mapa de $H^i(N)\to H^i(N/\Gamma_I(N))$ inducida por la proyección de $N\to N/\Gamma_I(N)$ es un isomorfismo. Por lo tanto, (5) se convierte en $$ \frac{M}{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)} \cong \ker \left[H^1_J(\Gamma_I(M)) \to H^1_J(M)\right],$$ donde $H^1_J(\Gamma_I(M)) \to H^1_J(M)$ es el mapa. Pero por el largo de la secuencia exacta de $H_J$, $$ \ker \left[H^1_J(\Gamma_I(M)) \to H^1_J(M)\right] \cong \frac{\Gamma_J(M)}{\Gamma_J(\Gamma_I(M))} \cong \frac{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)}{\Gamma_I(M)}.$$ Por lo tanto, $$ \frac{M}{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)} \cong \frac{\Gamma_I(M)+\Gamma_J(M)}{\Gamma_I(M)}.$$
