¿Está la concavidad de una función de valor real en un espacio euclidiano implicada por la concavidad de su restricción a todo subespacio afín de dimensión inferior?

Question

Considere una función $f$ en $\Re^n$ a $\Re$ . Supongamos que es cierto que para todo subespacio afín de dimensión estrictamente menor que $n$ la función $f$ es cóncavo. ¿Es la función $f$ cóncavo sobre $\Re^n$ ?

Para empezar, supongamos que $f: \Re^2 \to \Re$ , tal que para todo $x \in \Re$ , $f(x, .)$ es cóncava y para todo $y \in \Re$ , $f(., y)$ es cóncavo. ¿Es posible que $f$ no es cóncavo?

EDITAR: No estoy seguro de la etiqueta aquí, así que voy a dejar mi post original arriba. No he formulado la pregunta con cuidado. Déjame intentarlo de nuevo:

Supongamos que tenemos una función de valor real $f$ en $\Re^n$ y sabemos lo siguiente sobre la función: Elige una dimensión y llámala dimensión $k$ . A continuación, elige un número real $x$ . Ahora, supongamos que es cierto que $f(., ..., x, ., ...)$ es estrictamente cóncavo, para cualquier $x$ y para cualquier dimensión $k$ . ¿Es cierto que $f$ es cóncavo?

La respuesta de Theo incluye un ejemplo $f(x, y), = xy$ que interpreto como un contraejemplo si no se incluye el calificativo de "estricto".

Por si sirve de algo, no es una pregunta de deberes, sino que nace de la curiosidad.

Answer 1

La definición de concavidad es $f((1-t)x + ty) \geq (1-t)f(x) + tf(y)$ para todos $x, y$ y todos $0 \leq t \leq 1$ . Se trata de una condición para los segmentos de línea (por lo tanto, sólo involucra a los puntos que se encuentran en $1$ -afines), por lo que tu primera pregunta tiene la respuesta tautológica sí para $n \geq 2$ .

La segunda pregunta tiene una respuesta negativa. Considere $f(x,y) = xy$ . Entonces $f(x,\cdot)$ et $f(\cdot,y)$ son lineales, por tanto cóncavas, pero la función en sí no es cóncava ( $f(x,x) = x^{2}$ es convexo y $f(x,-x) = -x^{2}$ es cóncavo).

Para $C^{2}$ -funciones las siguientes son equivalentes:

• $f$ es cóncavo;
• el hessiano de $f$ es semidefinido negativo en cada punto.

En cambio, la condición de que $f(\cdot,y)$ et $f(x,\cdot)$ ser cóncavo sólo dice que $f_{xx}(\cdot,y), f_{yy}(x,\cdot) \leq 0$ mientras que la concavidad implica también las derivadas mixtas $f_{xy} = f_{yx}$ . En concreto, la concavidad equivale a $f_{xx} + f_{yy} \leq 0$ et $f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} \geq 0$ en todas partes en $\mathbb{R}^{2}$ (una matriz simétrica es negativa definida si y sólo si sus valores propios son negativos y para $2 \times 2$ -matrices esto es equivalente a la traza negativa y positivo determinante).

Editar . Para que el ejemplo de antes sea estrictamente cóncavo en el $x$ et $y$ -direcciones, sólo hay que tener en cuenta $f(x,y) - e^{x + y}$ o el ejemplo de Jonas.

Answer 2

La función $f(x,y)=-(x^2+1)(y^2+1)$ es un contraejemplo para la nueva pregunta, siendo estrictamente cóncavo en $x$ para cada fijo $y$ y viceversa, pero sin ser cóncavo.

En general, si $g$ es una función dos veces diferenciable, positiva y estrictamente convexa sobre $\mathbb{R}$ que no es log convexo, entonces $f(x,y)=-g(x)g(y)$ es un contraejemplo. El criterio de convexidad logarítmica para $g(x)g(y)$ para ser convexo surgió en esta otra pregunta .

Answer 3

Es muy probable que se trate de una pregunta de deberes. Por eso no te daré una solución al problema de los deberes, pero sí una sugerencia.

En realidad tienes dos preguntas aquí, y no está claro que resolver la versión simplificada (cóncava en x e y) te ayude a resolver la versión completa del problema. Tendrás que tener cuidado con eso.

Para la versión más sencilla del problema, recordemos que una función dos veces diferenciable de forma continua es cóncava si la matriz hessiana es definida negativamentee, cóncava en x si $f_{xx}$ es negativo y cóncavo en $y$ si $f_{yy}$ es negativo. ¿Puedes construir una función (quizás una función cuadrática para que el hessiano sea muy simple) que tenga un $f_{xx}$ negativo y $f_{yy}$ negativo pero no tiene un hessiano definido negativo? ¿Puedes demostrar que la función que has encontrado es realmente no convexa?

Para la versión completa de la pregunta, podría considerar la definición de concavidad. ¿Cómo se relaciona esta definición con "todo subespacio afín"?