¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo encontrar una forma cerrada para la siguiente expresión? Aparece cuando se trata de unir una integral particular. La suma es:
PS
Muchas gracias por tus pensamientos.
Respuesta
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Jackson
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Dudo mucho que no es razonable a la forma cerrada de la expresión. Sin embargo, puesto que usted está tratando de enlazado algunos integral, esto puede ser útil.
Indicar las sumas parciales por $\displaystyle S_{m}=\sum_{n=0}^{m} \frac{e^{\cos(n)}}{n!}$. Tenga en cuenta que $\displaystyle S_{\infty}=S_{m}+\sum_{m+1}^{\infty} \frac{e^{\cos(n)}}{n!}$. Podemos obligado el término de error de arriba y de abajo de la siguiente manera:
$$\sum_{m+1}^{\infty} \frac{e^{\cos(n)}}{n!} \ge \frac{1}{e}\sum_{m+1}^{\infty} \frac{1}{n!}=1-\frac{\Gamma(m+1,1)}{\Gamma(m+1)}=E_{m}$$ $$\sum_{m+1}^{\infty} \frac{e^{\cos(n)}}{n!} \le e\sum_{m+1}^{\infty} \frac{1}{n!}=e^{2}E_{m}$$
Ya que estamos sumando términos positivos, podemos enlazado a la suma final de la siguiente manera:
$$S_{m}+E_{m} \le S_{\infty} \le S_{m}+e^{2}E_{m}$$
La mayoría de la suma depositada en el primer par de términos, por lo que enchufar $m=5$ los rendimientos de los siguientes decente, rigurosos límites:
$$2.14158 \le S_{\infty} \le 2.14538$$
Numéricamente, $S_{\infty} \approx 2.14506$.
