Inteligente derivación de $\arcsin(x)$ serie de Taylor

Question

Yo estaba trabajando en el otro día en la de Matemáticas Centro de Ayuda, tratando de ayudar a algunos de los primeros años, con un problema de cálculo. El problema tenía que ver con la investigación de la serie de Taylor de $\arcsin(x)$. Una vez que los alumnos habían derivado

$$\arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}$$

se les pidió a rederive de una manera diferente:

Determinar la secuencia de $\{c_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $$x=\sum_{n=0}^\infty c_n \left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\right)^n.$$

Aquí está lo que hice: me di cuenta de que el objeto en paréntesis es la serie de Taylor de $\sin(x)$, así que la idea es dejar a $\arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$ y tenga en cuenta que $\arcsin(\sin(x))=x$. Después de que es sólo un problema de calcular el $c_n$'s.

Hay un evidente ataque de fuerza bruta, donde para cada una de las $n$ se puede decir "índices de más de $n$ no importa, así que ahora es un finito problema". Ampliar los términos pertinentes para obtener las relaciones entre las $c_i$'s que ya has trabajado. El problema es que esto sólo funcionará para un número finito de valores, y era difícil de determinar un patrón.

Está ahí y obvio patrón que me falta? Se me ocurrió que los "términos" que contribuyen a $c_n$ dependen de los divisores de a $n$, es esta intuición correcta?

Lo que es más importante, ¿cuál es la mejor manera de resolver el problema de la computación en la $c_n$?

Answer 1

He aquí un breve argumento, sino que utiliza la $\sin^2 x+\cos^2x=1$, que no es exactamente evidente a partir de la potencia de la serie. La diferenciación de

$$x=\sum_{n=0}^\infty c_n\sin^nx$$

dos veces rendimientos

$$ \begin{eqnarray} 0 &=& \sum_{n=0}^\infty c_n\left(n(n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x-n\sin^nx\right) \\ &=& \sum_{n=0}^\infty c_n\left(n(n-1)\sin^{n-2}x-n^2\sin^nx\right)\;, \end{eqnarray} $$

que da la recurrencia

$$ \begin{eqnarray} c_{n+2} &=& \frac{n^2}{(n+1)(n+2)}c_n \\ &=& \frac{n}{n+2}\frac{n}{n+1}c_n\;. \end{eqnarray}$$

Los factores de $n$ $n+2$ cancelar excepto para el final de la $n+2$, y con $c_0=0$ $c_1=1$ esto lleva a

$$c_{2n+1}=\frac{(2n)!}{(2^nn!)^2(2n+1)}\;.$$

Me dieron la idea para esta aquí (punto 4.3, tercera prueba).